Номер 8.27, страница 62 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.27. Окружность, построенная на стороне параллелограмма как на диаметре, проходит через середину соседней стороны и точку пересечения диагоналей. Найдите углы параллелограмма.

8.27. Окружность, построенная на стороне параллелограмма как на диаметре, проходит через середину соседней стороны и точку пересечения диагоналей. Найдите углы параллелограмма.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Пусть окружность построена на его стороне $AD$ как на диаметре. Обозначим длину стороны $AD$ как $a$, а длину смежной стороны $AB$ как $b$.

Из условия задачи известно, что окружность проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма. Обозначим эту точку как $O$. Поскольку точка $O$ лежит на окружности, а отрезок $AD$ является её диаметром, то вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle AOD = 90^\circ$.

Это означает, что диагонали параллелограмма $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом. Параллелограмм, диагонали которого перпендикулярны, является ромбом. Таким образом, все стороны параллелограмма равны, то есть $AB = AD$, или $a = b$.

Также по условию, окружность проходит через середину соседней стороны. Пусть соседняя сторона — это $AB$, а её середина — точка $M$. Поскольку точка $M$ лежит на окружности с диаметром $AD$, то вписанный угол $\angle AMD$, опирающийся на диаметр, также является прямым: $\angle AMD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADM$. Он является прямоугольным с гипотенузой $AD$. Пусть угол параллелограмма при вершине $A$ равен $\alpha$, то есть $\angle DAB = \alpha$. Этот же угол является углом $\angle DAM$ в треугольнике $\triangle ADM$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADM$ косинус острого угла $\alpha$ равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:$$ \cos(\alpha) = \frac{AM}{AD} $$

Точка $M$ — середина стороны $AB$, поэтому $AM = \frac{AB}{2}$. Подставим это в формулу для косинуса:$$ \cos(\alpha) = \frac{AB/2}{AD} $$

Так как мы уже установили, что параллелограмм является ромбом, то $AB = AD$. Заменим $AB$ на $AD$ в последнем выражении:$$ \cos(\alpha) = \frac{AD/2}{AD} = \frac{1}{2} $$

Угол $\alpha$ является углом параллелограмма, поэтому $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Единственное решение уравнения $\cos(\alpha) = \frac{1}{2}$ в этом диапазоне — это $\alpha = 60^\circ$.

Таким образом, один из углов параллелограмма равен $60^\circ$. Сумма соседних углов параллелограмма равна $180^\circ$, поэтому второй угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: Углы параллелограмма равны $60^\circ, 120^\circ, 60^\circ, 120^\circ$.