Номер 8.34, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.34. Прямые, содержащие биссектрисы треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника $ABC$ является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$.

8.34. Прямые, содержащие биссектрисы треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника $ABC$ является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$.

Пусть $I$ — центр вписанной окружности (инцентр) треугольника $ABC$. По определению, $I$ является точкой пересечения биссектрис углов этого треугольника. Прямые $AA_1, BB_1, CC_1$ являются биссектрисами углов $\angle A, \angle B, \angle C$ соответственно, и все они проходят через точку $I$.

Ортоцентр треугольника — это точка пересечения его высот. Чтобы доказать, что $I$ является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$, нам необходимо показать, что прямые $A_1I, B_1I, C_1I$ являются высотами треугольника $A_1B_1C_1$. Поскольку точка $I$ лежит на прямых $AA_1, BB_1, CC_1$, это эквивалентно доказательству того, что $AA_1 \perp B_1C_1$, $BB_1 \perp A_1C_1$ и $CC_1 \perp A_1B_1$.

Докажем перпендикулярность прямых $AA_1$ и $B_1C_1$. Остальные случаи доказываются аналогично.

Пусть $\angle A, \angle B, \angle C$ — величины углов треугольника $ABC$. Так как $AA_1$ — биссектриса угла $\angle A$, то $\angle BAA_1 = \angle CAA_1 = \angle A/2$.

Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Вписанный угол $\angle A_1CB$ опирается на дугу $A_1B$. На эту же дугу опирается вписанный угол $\angle A_1AB$ (это другое название для угла $\angle BAA_1$). Следовательно, $\angle A_1CB = \angle A_1AB = \angle A/2$.

Величина дуги окружности равна удвоенной величине вписанного угла, который на нее опирается. Таким образом, мы можем выразить величины дуг, на которые точки $A_1, B_1, C_1$ разбивают описанную окружность, через углы треугольника $ABC$:

• $\text{дуга}(A_1B) = 2 \cdot \angle A_1CB = 2 \cdot (\angle A/2) = \angle A$. Аналогично, $\text{дуга}(A_1C) = \angle A$.
• $\text{дуга}(B_1C) = 2 \cdot \angle B_1AC = 2 \cdot (\angle B/2) = \angle B$. Аналогично, $\text{дуга}(B_1A) = \angle B$.
• $\text{дуга}(C_1A) = 2 \cdot \angle C_1BA = 2 \cdot (\angle C/2) = \angle C$. Аналогично, $\text{дуга}(C_1B) = \angle C$.

Рассмотрим хорды $AA_1$ и $B_1C_1$, пересекающиеся в некоторой точке $P$. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин дуг, заключенных между ними. Угол $\angle AP C_1$ и вертикальный ему угол $\angle A_1 P B_1$ высекают на окружности дуги $AC_1$ и $A_1B_1$.

Следовательно, величина угла $\angle AP C_1$ вычисляется по формуле:

$\angle AP C_1 = \frac{1}{2} (\text{дуга}(AC_1) + \text{дуга}(A_1B_1))$

Используя найденные ранее величины дуг:

• $\text{дуга}(AC_1) = \text{дуга}(C_1A) = \angle C$.
• $\text{дуга}(A_1B_1) = \text{дуга}(A_1C) + \text{дуга}(CB_1) = \angle A + \angle B$.

Подставим эти значения в формулу:

$\angle AP C_1 = \frac{1}{2} (\angle C + (\angle A + \angle B)) = \frac{1}{2} (\angle A + \angle B + \angle C)$

Поскольку сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, получаем:

$\angle AP C_1 = \frac{1}{2} (180^\circ) = 90^\circ$

Это означает, что прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $B_1C_1$. Таким образом, прямая $A_1I$ является высотой треугольника $A_1B_1C_1$.

Аналогично доказывается, что $BB_1 \perp A_1C_1$ и $CC_1 \perp A_1B_1$, то есть $B_1I$ и $C_1I$ также являются высотами треугольника $A_1B_1C_1$.

Поскольку $I$ является точкой пересечения высот треугольника $A_1B_1C_1$, то центр вписанной окружности треугольника $ABC$ является ортоцентром треугольника $A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.