Номер 8.35, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.35. Прямые, содержащие биссектрисы треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Постройте по этим точкам треугольник $ABC$.

8.35. Прямые, содержащие биссектрисы треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Постройте по этим точкам треугольник $ABC$.

Для построения искомого треугольника $ABC$ по заданным точкам $A_1, B_1, C_1$ необходимо сначала установить связь между треугольниками $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Докажем, что прямые, содержащие биссектрисы треугольника $ABC$, являются высотами треугольника $A_1B_1C_1$.

Пусть $\omega$ — описанная окружность треугольника $ABC$, которая также является и описанной окружностью для точек $A_1, B_1, C_1$. Обозначим углы треугольника $ABC$ при вершинах $A, B, C$ как $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно. Прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ являются биссектрисами этих углов.

По свойству биссектрисы угла, вписанного в окружность, точка $A_1$ делит дугу $BC$ (не содержащую точку $A$) пополам. Аналогично, точка $B_1$ делит пополам дугу $AC$, а $C_1$ — дугу $AB$. Величина дуги, на которую опирается вписанный угол, вдвое больше этого угла. Следовательно:
$\text{дуга } BC = 2\alpha$, откуда $\text{дуга } BA_1 = \text{дуга } A_1C = \alpha$.
$\text{дуга } AC = 2\beta$, откуда $\text{дуга } AB_1 = \text{дуга } B_1C = \beta$.
$\text{дуга } AB = 2\gamma$, откуда $\text{дуга } AC_1 = \text{дуга } C_1B = \gamma$.

Рассмотрим угол между хордами $AA_1$ и $B_1C_1$. Этот угол измеряется полусуммой дуг, заключенных между этими хордами. Такими дугами являются дуга $AC_1$ и дуга $A_1B_1$. Величина дуги $A_1B_1$ складывается из дуг $A_1C$ и $CB_1$. Таким образом, угол между хордами равен:
$\frac{1}{2}(\text{дуга } AC_1 + \text{дуга } A_1B_1) = \frac{1}{2}(\text{дуга } AC_1 + (\text{дуга } A_1C + \text{дуга } CB_1)) = \frac{1}{2}(\gamma + \alpha + \beta)$.

Так как сумма углов треугольника $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$, то угол между хордами $AA_1$ и $B_1C_1$ равен $\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$. Это означает, что прямая $AA_1$ перпендикулярна прямой $B_1C_1$. Следовательно, прямая, содержащая биссектрису угла $A$ треугольника $ABC$, является высотой треугольника $A_1B_1C_1$, проведенной из вершины $A_1$.

Аналогично доказывается, что $BB_1 \perp A_1C_1$ и $CC_1 \perp A_1B_1$. Таким образом, биссектрисы треугольника $ABC$ лежат на высотах треугольника $A_1B_1C_1$. Вершины $A, B, C$ лежат на этих высотах и одновременно на описанной окружности.

На основе этого факта и выполняется искомое построение. Сначала по точкам $A_1, B_1, C_1$ строится треугольник $A_1B_1C_1$ и его описанная окружность $\omega$ (её центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам). Затем строятся три высоты треугольника $A_1B_1C_1$: прямая через $A_1$ перпендикулярно $B_1C_1$, прямая через $B_1$ перпендикулярно $A_1C_1$ и прямая через $C_1$ перпендикулярно $A_1B_1$. Каждая из этих высот пересекает окружность $\omega$ в двух точках: одна из них — это вершина треугольника $A_1B_1C_1$, а вторая — одна из вершин искомого треугольника $ABC$. Таким образом, вершина $A$ находится как пересечение высоты из $A_1$ с окружностью $\omega$ (отличное от $A_1$), вершина $B$ — как пересечение высоты из $B_1$ с $\omega$ (отличное от $B_1$), и вершина $C$ — как пересечение высоты из $C_1$ с $\omega$ (отличное от $C_1$). Соединив точки $A, B, C$, получаем искомый треугольник.

Ответ: Искомый треугольник $ABC$ строится следующим образом: по точкам $A_1, B_1, C_1$ строится треугольник и его описанная окружность. Затем строятся прямые, содержащие высоты треугольника $A_1B_1C_1$. Точки пересечения этих прямых с описанной окружностью (отличные от $A_1, B_1, C_1$) и будут вершинами искомого треугольника $ABC$.