Номер 8.42, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.42. Постройте треугольник по медиане, биссектрисе и высоте, выходящим из одной вершины.

8.42. Постройте треугольник по медиане, биссектрисе и высоте, выходящим из одной вершины.

Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по заданным длинам высоты $h_a$, биссектрисы $l_a$ и медианы $m_a$, проведенных из одной вершины $A$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Пусть $AH$ — его высота, $AL$ — биссектриса, а $AM$ — медиана, проведенные из вершины $A$. Точки $H, L, M$ лежат на прямой, содержащей сторону $BC$. Нам известны длины отрезков $AH = h_a$, $AL = l_a$ и $AM = m_a$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $AHL$ и $AHM$ (с прямым углом при вершине $H$). В $\triangle AHL$ известны катет $AH = h_a$ и гипотенуза $AL = l_a$. В $\triangle AHM$ известны катет $AH = h_a$ и гипотенуза $AM = m_a$. Это позволяет нам построить точки $A, H, L, M$. Таким образом, мы можем определить положение вершины $A$ и прямой $BC$, на которой лежат остальные вершины.

Для нахождения вершин $B$ и $C$ воспользуемся свойством биссектрисы и описанной окружности. Пусть описанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ пересекает продолжение биссектрисы $AL$ в точке $W$. Известно, что точка $W$ является серединой дуги $BC$, не содержащей точку $A$. Следовательно, $W$ равноудалена от точек $B$ и $C$ и лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BC$.

Поскольку $M$ — середина стороны $BC$, серединный перпендикуляр к $BC$ — это прямая, проходящая через $M$ перпендикулярно прямой $BC$.

Таким образом, точка $W$ является точкой пересечения прямой $AL$ и прямой, проходящей через $M$ перпендикулярно $BC$.

Центр описанной окружности $O$ должен быть равноудален от всех вершин треугольника. В частности, он равноудален от $A$ и $W$. Значит, $O$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AW$. Также центр $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$.

Пересечение этих двух серединных перпендикуляров даст нам центр описанной окружности $O$. Зная центр $O$ и точку $A$ на окружности, мы можем построить саму окружность. Точки пересечения этой окружности с прямой, содержащей $H, L, M$, и будут вершинами $B$ и $C$.

Построение

1. Проведем произвольную прямую $p$. Выберем на ней произвольную точку $H$.

2. Построим прямую, перпендикулярную прямой $p$ и проходящую через точку $H$.

3. На этом перпендикуляре отложим отрезок $AH$ длиной $h_a$. Получим вершину $A$.

4. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $l_a$. Точка ее пересечения с прямой $p$ будет точкой $L$. (Если окружность пересекает прямую в двух точках, выбираем любую из них).

5. Построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $m_a$. Точка ее пересечения с прямой $p$ будет точкой $M$. (Точку $M$ следует выбрать так, чтобы $L$ лежала между $H$ и $M$, что соответствует общему случаю $h_a \le l_a \le m_a$).

6. Проведем прямую через точки $A$ и $L$.

7. Построим прямую $q$, проходящую через точку $M$ перпендикулярно прямой $p$.

8. Найдем точку $W$ как пересечение прямой $AL$ и прямой $q$.

9. Построим серединный перпендикуляр к отрезку $AW$.

10. Точка пересечения серединного перпендикуляра к $AW$ и прямой $q$ является центром описанной окружности $O$.

11. Построим окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$.

12. Точки пересечения окружности $\omega$ с прямой $p$ являются искомыми вершинами $B$ и $C$.

13. Соединим точки $A, B$ и $C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ является высотой по построению (т.к. $AH \perp BC$), и его длина равна $h_a$.

Точка $M$ лежит на прямой $BC$. Прямая $q$ проходит через $M$ и перпендикулярна $BC$. Поскольку центр описанной окружности $O$ лежит на $q$, прямая $q$ является серединным перпендикуляром к хорде $BC$. Следовательно, $M$ — середина $BC$, и $AM$ — медиана. Ее длина по построению равна $m_a$.

Точка $L$ лежит на отрезке $BC$, и длина отрезка $AL$ по построению равна $l_a$. Докажем, что $AL$ — биссектриса угла $BAC$. Точка $W$ лежит на описанной окружности (т.к. $O$ равноудалена от $A$ и $W$) и на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Следовательно, дуги $BW$ и $CW$ равны. Равные дуги стягивают равные вписанные углы, поэтому $\angle BAW = \angle CAW$. Так как точка $L$ лежит на отрезке $AW$, то $\angle BAL = \angle CAL$, что и означает, что $AL$ является биссектрисой угла $BAC$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет заданные высоту, биссектрису и медиану.

Исследование

Задача имеет решение, если возможно выполнить все шаги построения. Из построения прямоугольных треугольников $AHL$ и $AHM$ следует, что должны выполняться неравенства $h_a \le l_a$ и $h_a \le m_a$. Также известно, что для любого треугольника (кроме равнобедренного, где они могут совпадать) биссектриса лежит между высотой и медианой, проведенными из той же вершины. Это означает, что $l_a \le m_a$.

Итак, для существования решения необходимо выполнение условия $h_a \le l_a \le m_a$.

Если $h_a = l_a$, то точки $H$ и $L$ совпадают. Это означает, что высота является биссектрисой, следовательно, треугольник — равнобедренный ($AB=AC$). В этом случае медиана также совпадает с высотой и биссектрисой, т.е. $h_a = l_a = m_a$. В этом случае точки $H, L, M$ совпадают, прямая $AL$ и прямая $q$ совпадают, и точка $W$ не определяется однозначно. Задача в этом случае имеет бесконечно много решений (любой равнобедренный треугольник с заданной высотой $h_a$).

Если $h_a < l_a$, то прямая $AL$ не перпендикулярна $p$, а прямая $q$ перпендикулярна $p$, поэтому они пересекаются в единственной точке $W$. Построение однозначно (с точностью до выбора стороны для точек $L$ и $M$ относительно $H$, что дает два симметричных решения).

Ответ: Построенный по приведенному алгоритму треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет решение при условии $h_a \le l_a \le m_a$. Если $h_a = l_a = m_a$, решение не единственно.