Номер 8.48, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.48. Постройте параллелограмм по углу и двум диагоналям.

8.48. Постройте параллелограмм по углу и двум диагоналям.

Для построения параллелограмма по углу между диагоналями и длинам двух диагоналей, воспользуемся основным свойством диагоналей параллелограмма: они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Дано

Имеются два отрезка с длинами $d_1$ и $d_2$, которые являются длинами диагоналей будущего параллелограмма, и угол $\alpha$, равный углу между этими диагоналями.

Анализ

Пусть $ABCD$ — искомый параллелограмм, а точка $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. Согласно свойству параллелограмма, $AO = OC = \frac{1}{2}AC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD = \frac{d_2}{2}$. Угол между диагоналями, по условию, равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Таким образом, задача сводится к построению треугольника $AOB$ по двум сторонам ($AO = d_1/2$ и $BO = d_2/2$) и углу между ними ($\angle AOB = \alpha$). После построения этого треугольника, остальные вершины параллелограмма ($C$ и $D$) находятся путем продления отрезков $AO$ и $BO$ на их собственную длину за точку $O$.

Построение

1. С помощью циркуля и линейки разделим данные отрезки $d_1$ и $d_2$ пополам. Получим отрезки длиной $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

2. Построим угол, равный данному углу $\alpha$. Обозначим его вершину буквой $O$.

3. На одной из сторон угла отложим от вершины $O$ отрезок $OA$, равный $\frac{d_1}{2}$.

4. На другой стороне угла отложим от вершины $O$ отрезок $OB$, равный $\frac{d_2}{2}$.

5. Построим луч, исходящий из точки $A$ и проходящий через точку $O$. На этом луче за точкой $O$ отложим отрезок $OC$, равный отрезку $OA$.

6. Построим луч, исходящий из точки $B$ и проходящий через точку $O$. На этом луче за точкой $O$ отложим отрезок $OD$, равный отрезку $OB$.

7. Последовательно соединим точки $A, B, C$ и $D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым параллелограммом.

Доказательство

В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По построению, $AO = OC = \frac{d_1}{2}$ и $BO = OD = \frac{d_2}{2}$.

Поскольку диагонали четырехугольника $ABCD$ в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник по признаку является параллелограммом.

Длина его диагонали $AC = AO + OC = \frac{d_1}{2} + \frac{d_1}{2} = d_1$.

Длина его диагонали $BD = BO + OD = \frac{d_2}{2} + \frac{d_2}{2} = d_2$.

Угол между диагоналями $\angle AOB$ по построению равен заданному углу $\alpha$.

Следовательно, построенный параллелограмм $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача всегда имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение, если заданные длины диагоналей $d_1, d_2$ положительны, а угол $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Если в качестве угла между диагоналями взять смежный ему угол $180^\circ - \alpha$, будет построен конгруэнтный параллелограмм.

Ответ: Построение, основанное на свойстве диагоналей параллелограмма делиться точкой пересечения пополам, приведено выше.