Номер 8.52, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.52. В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $B, H, O$ и $C$, где $H$ — ортоцентр, $O$ — центр описанной окружности, лежат на одной окружности. Найдите угол $BAC$.

8.52. В остроугольном треугольнике $ABC$ точки $B, H, O$ и $C$, где $H$ — ортоцентр, $O$ — центр описанной окружности, лежат на одной окружности. Найдите угол $BAC$.

Пусть искомый угол $\angle BAC = \alpha$.

Сначала выразим величину угла $\angle BHC$ через $\alpha$. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, то есть точка пересечения его высот. Пусть $BB_1$ и $CC_1$ — высоты, проведенные из вершин $B$ и $C$ к сторонам $AC$ и $AB$ соответственно. В четырехугольнике $AC_1HB_1$ углы $\angle AC_1H$ и $\angle AB_1H$ прямые, так как $CC_1$ и $BB_1$ — высоты. Сумма углов четырехугольника равна $360^\circ$, поэтому сумма двух других углов $\angle C_1HB_1 + \angle C_1AB_1 = 180^\circ$. Угол $\angle BHC$ является вертикальным к углу $\angle C_1HB_1$, следовательно, $\angle BHC = \angle C_1HB_1$. Угол $\angle C_1AB_1$ совпадает с углом $\angle BAC = \alpha$. Таким образом, мы получаем, что $\angle BHC = 180^\circ - \alpha$.

Теперь выразим величину угла $\angle BOC$ через $\alpha$. Точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Угол $\angle BOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $BC$. Угол $\angle BAC$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $BC$. По свойству центрального и вписанного углов, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Следовательно, $\angle BOC = 2 \angle BAC = 2\alpha$.

Из условия задачи известно, что точки $B, H, O, C$ лежат на одной окружности. Поскольку треугольник $ABC$ остроугольный, его ортоцентр $H$ и центр описанной окружности $O$ лежат внутри треугольника. Это означает, что точки $H$ и $O$ находятся по одну сторону от прямой $BC$. Если четыре точки лежат на одной окружности, и точки $H$ и $O$ лежат по одну сторону от хорды $BC$, то углы, опирающиеся на эту хорду, равны. Таким образом, из условия следует, что $\angle BHC = \angle BOC$.

Приравняем полученные выражения для этих углов и решим уравнение относительно $\alpha$: $180^\circ - \alpha = 2\alpha$ $3\alpha = 180^\circ$ $\alpha = 60^\circ$

Следовательно, угол $\angle BAC$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.