Номер 8.58, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.58. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к другой стороне.

8.58. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к другой стороне.

Пусть дан отрезок длины $a$, угол $α$ и отрезок длины $m_b$. Требуется построить треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, угол $∠BAC = α$, а медиана $BM_b$, проведенная к стороне $AC$, равна $m_b$.

Анализ

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен.

1. Сторона $BC$ имеет заданную длину $a$. Зафиксируем этот отрезок.

2. Вершина $A$ должна быть такова, что угол $∠BAC$ равен $α$. Геометрическим местом точек (ГМТ), из которых отрезок $BC$ виден под углом $α$, является дуга окружности $Γ$, проходящей через точки $B$ и $C$.

3. $BM_b$ — медиана к стороне $AC$, где $M_b$ — середина $AC$. Длина этой медианы равна $m_b$. Это означает, что точка $M_b$ лежит на окружности $Ω$ с центром в точке $B$ и радиусом $m_b$.

4. Теперь установим связь между положением точки $A$ и точки $M_b$. Точка $M_b$ является серединой отрезка $AC$. Это означает, что $M_b$ является образом точки $A$ при гомотетии (центральном подобии) с центром в точке $C$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

5. Поскольку точка $A$ лежит на дуге $Γ$, ее образ $M_b$ должен лежать на образе этой дуги при указанной гомотетии. Обозначим этот образ через $Γ'$. $Γ'$ также является дугой окружности.

6. Таким образом, точка $M_b$ должна принадлежать двум множествам: окружности $Ω$ (с центром $B$ и радиусом $m_b$) и дуге $Γ'$ (образу дуги $Γ$ при гомотетии с центром $C$ и $k=1/2$). Следовательно, точка $M_b$ является точкой пересечения этих двух ГМТ.

7. Найдя точку $M_b$, мы можем легко найти вершину $A$. Так как $M_b$ — середина $AC$, то точка $A$ лежит на луче $CM_b$ на расстоянии $2 \cdot CM_b$ от точки $C$.

Это рассуждение дает нам план построения.

Построение

1. Построим отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Построим ГМТ, из которых отрезок $BC$ виден под углом $α$. Это дуга окружности $Γ$. (Для этого строим серединный перпендикуляр к $BC$ и из точки $B$ проводим луч под углом $90^\circ - α$ к $BC$. Точка пересечения будет центром описанной окружности для сегмента).
3. Построим образ $Γ'$ дуги $Γ$ при гомотетии с центром в точке $C$ и коэффициентом $k=1/2$. Центр новой окружности $O'$ будет серединой отрезка $OC$ (где $O$ — центр окружности, содержащей дугу $Γ$), а ее радиус будет в два раза меньше радиуса исходной окружности.
4. Построим окружность $Ω$ с центром в точке $B$ и радиусом, равным длине медианы $m_b$.
5. Найдем точку (или точки) пересечения окружности $Ω$ и дуги $Γ'$. Обозначим одну из этих точек как $M_b$.
6. Проведем луч $CM_b$.
7. На этом луче от точки $C$ отложим отрезок $CA$, равный $2 \cdot CM_b$. Точка $A$ — третья вершина искомого треугольника.
8. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ построен.

Доказательство

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ по построению равна $a$.

Точка $M_b$ является серединой отрезка $AC$ (по построению, т.к. $CA = 2 \cdot CM_b$ и точки $C, M_b, A$ лежат на одной прямой).

Отрезок $BM_b$ является медианой к стороне $AC$, и его длина равна $m_b$, так как точка $M_b$ лежит на окружности $Ω$ с центром $B$ и радиусом $m_b$.

Поскольку $M_b$ — образ точки $A$ при гомотетии $H(C, 1/2)$, а $M_b$ лежит на дуге $Γ'$, то прообраз $A$ должен лежать на прообразе дуги $Γ'$, то есть на дуге $Γ$. Это означает, что угол $∠BAC$ равен $α$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность $Ω$ и дуга $Γ'$ пересекаются.

• Если $Ω$ и $Γ'$ не пересекаются, решений нет.
• Если $Ω$ и $Γ'$ касаются в одной точке, существует одно решение.
• Если $Ω$ и $Γ'$ пересекаются в двух точках, существует два решения (два треугольника, в общем случае не равных друг другу).

Число решений (0, 1 или 2) зависит от соотношения заданных величин $a$, $α$ и $m_b$.

Ответ: Построение треугольника осуществляется согласно приведенному выше алгоритму, основанному на методе гомотетии. Количество решений задачи (0, 1 или 2) зависит от взаимного расположения построенных геометрических мест точек.