Номер 9.5, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.5. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$ так, что $\angle AMC = 40^\circ$. Градусная мера дуги $AD$ на $20^\circ$ больше градусной меры дуги $BC$. Найдите градусную меру дуги $AD$.

9.5. Хорды $AB$ и $CD$ окружности пересекаются в точке $M$ так, что $\angle AMC = 40^\circ$. Градусная мера дуги $AD$ на $20^\circ$ больше градусной меры дуги $BC$. Найдите градусную меру дуги $AD$.

Угол, образованный двумя пересекающимися хордами, равен половине суммы градусных мер дуг, заключенных между сторонами этого угла и сторонами вертикального ему угла. В данной задаче угол $\angle AMC$ и смежный с ним угол $\angle AMD$ вместе образуют развернутый угол в $180^\circ$.

Угол $\angle AMD$ и вертикальный ему угол $\angle BMC$ опираются на дуги $AD$ и $BC$ соответственно. По теореме об угле между пересекающимися хордами, величина угла $\angle AMD$ равна полусумме градусных мер этих дуг:

$\angle AMD = \frac{1}{2}(\text{дуга } AD + \text{дуга } BC)$

Углы $\angle AMC$ и $\angle AMD$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Зная, что $\angle AMC = 40^\circ$, найдем величину угла $\angle AMD$:

$\angle AMD = 180^\circ - \angle AMC = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$

Теперь подставим найденное значение угла в формулу:

$140^\circ = \frac{1}{2}(\text{дуга } AD + \text{дуга } BC)$

Отсюда следует, что сумма градусных мер дуг $AD$ и $BC$ равна:

$\text{дуга } AD + \text{дуга } BC = 2 \cdot 140^\circ = 280^\circ$

По условию задачи, градусная мера дуги $AD$ на $20^\circ$ больше градусной меры дуги $BC$. Обозначим градусную меру дуги $BC$ через $x$. Тогда градусная мера дуги $AD$ будет равна $x + 20^\circ$.

Составим и решим уравнение, используя найденную сумму дуг:

$(x + 20^\circ) + x = 280^\circ$

$2x + 20^\circ = 280^\circ$

$2x = 280^\circ - 20^\circ$

$2x = 260^\circ$

$x = 130^\circ$

Таким образом, градусная мера дуги $BC$ равна $130^\circ$.

Найдем градусную меру дуги $AD$:

$\text{дуга } AD = x + 20^\circ = 130^\circ + 20^\circ = 150^\circ$

Ответ: $150^\circ$.