Номер 9.6, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.6. Диаметр $AB$ и хорда $CD$ окружности пересекаются в точке $M$. Известно, что $\angle CMB = 73^\circ$ и $\cup BC = 110^\circ$. Найдите градусную меру дуги $BD$.

9.6. Диаметр $AB$ и хорда $CD$ окружности пересекаются в точке $M$. Известно, что $\angle CMB = 73^\circ$ и $\cup BC = 110^\circ$. Найдите градусную меру дуги $\cup BD$.

Согласно свойству углов, образованных при пересечении двух хорд внутри окружности, величина угла равна половине суммы градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла.

Для угла $\angle CMB$ и вертикального ему угла $\angle AMD$ это свойство записывается в виде формулы: $\angle CMB = \frac{\cup BC + \cup AD}{2}$

В условии даны значения $\angle CMB = 73^\circ$ и $\cup BC = 110^\circ$. Подставим их в формулу, чтобы найти градусную меру дуги $AD$: $73^\circ = \frac{110^\circ + \cup AD}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2: $146^\circ = 110^\circ + \cup AD$

Отсюда находим $\cup AD$: $\cup AD = 146^\circ - 110^\circ = 36^\circ$

Так как $AB$ — диаметр, он делит окружность на две полуокружности, градусная мера каждой из которых равна $180^\circ$. Одна из этих полуокружностей, дуга $ADB$, состоит из дуг $AD$ и $BD$. Таким образом: $\cup AD + \cup BD = 180^\circ$

Теперь мы можем найти градусную меру дуги $BD$, подставив известное значение $\cup AD$: $36^\circ + \cup BD = 180^\circ$ $\cup BD = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$

Ответ: 144°.