Номер 9.13, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.13. На окружности отметили четыре точки. Середины образовавшихся дуг соединили отрезками, как показано на рисунке 9.14. Докажите, что проведённые отрезки перпендикулярны.

Рис. 9.14

9.13. На окружности отметили четыре точки. Середины образовавшихся дуг соединили отрезками, как показано на рисунке 9.14. Докажите, что проведённые отрезки перпендикулярны.

Рис. 9.14

Пусть на окружности отмечены четыре исходные точки, которые мы обозначим $A$, $B$, $C$ и $D$ в порядке их расположения. Эти точки делят окружность на четыре дуги: дуга $AB$, дуга $BC$, дуга $CD$ и дуга $DA$.

Пусть $M$, $N$, $P$ и $Q$ — середины этих дуг соответственно. То есть, $M$ — середина дуги $AB$, $N$ — середина дуги $BC$, $P$ — середина дуги $CD$, и $Q$ — середина дуги $DA$. Согласно условию и рисунку, проведены отрезки (хорды), соединяющие середины противоположных дуг: $MP$ и $NQ$.

Пусть эти хорды пересекаются в точке $I$. Нам необходимо доказать, что угол между ними равен $90°$, то есть $MP \perp NQ$.

Воспользуемся теоремой об угле между двумя пересекающимися хордами. Угол между хордами равен полусумме угловых величин дуг, которые заключены между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Для угла $\angle MIQ$ это дуги $MQ$ и $NP$. Таким образом:

$\angle MIQ = \frac{1}{2} (\text{дуга } MQ + \text{дуга } NP)$

Выразим угловые величины дуг $MQ$ и $NP$ через дуги, образованные исходными точками. Дуга $MQ$ состоит из дуг $MA$ и $AQ$. Дуга $NP$ состоит из дуг $NC$ и $CP$.

$\text{дуга } MQ = \text{дуга } MA + \text{дуга } AQ$

$\text{дуга } NP = \text{дуга } NC + \text{дуга } CP$

Поскольку точки $M, N, P, Q$ являются серединами соответствующих дуг, их угловые величины равны половине угловых величин исходных дуг:

$\text{дуга } MA = \frac{1}{2} \text{дуга } AB$

$\text{дуга } AQ = \frac{1}{2} \text{дуга } DA$

$\text{дуга } NC = \frac{1}{2} \text{дуга } BC$

$\text{дуга } CP = \frac{1}{2} \text{дуга } CD$

Подставим эти выражения в формулу для дуг $MQ$ и $NP$:

$\text{дуга } MQ = \frac{1}{2} \text{дуга } AB + \frac{1}{2} \text{дуга } DA = \frac{1}{2} (\text{дуга } AB + \text{дуга } DA)$

$\text{дуга } NP = \frac{1}{2} \text{дуга } BC + \frac{1}{2} \text{дуга } CD = \frac{1}{2} (\text{дуга } BC + \text{дуга } CD)$

Теперь подставим эти результаты в формулу для угла $\angle MIQ$:

$\angle MIQ = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} (\text{дуга } AB + \text{дуга } DA) + \frac{1}{2} (\text{дуга } BC + \text{дуга } CD) \right] = \frac{1}{4} (\text{дуга } AB + \text{дуга } BC + \text{дуга } CD + \text{дуга } DA)$

Сумма угловых величин дуг $AB, BC, CD$ и $DA$ составляет полную окружность, то есть $360°$.

$\text{дуга } AB + \text{дуга } BC + \text{дуга } CD + \text{дуга } DA = 360°$

Следовательно, угол пересечения равен:

$\angle MIQ = \frac{1}{4} \times 360° = 90°$

Так как угол между отрезками $MP$ и $NQ$ равен $90°$, они перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Проведённые отрезки перпендикулярны.