Номер 9.8, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.8. В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная, пересекающая катет $CB$ в точке $D$. Докажите, что треугольник $BDE$ равнобедренный.

9.8. В прямоугольном треугольнике $ABC$ на катете $AC$ как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу $AB$ в точке $E$. Через точку $E$ проведена касательная, пересекающая катет $CB$ в точке $D$. Докажите, что треугольник $BDE$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $BDE$ является равнобедренным, мы покажем, что два его угла равны. Пусть $\angle ABC = \beta$.

1. По условию, окружность построена на катете $AC$ как на диаметре. Точка $E$ лежит на этой окружности и на гипотенузе $AB$. Угол, вписанный в окружность и опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $\angle AEC = 90^{\circ}$.
2. Точки $A$, $E$ и $B$ лежат на одной прямой (гипотенузе), поэтому углы $\angle AEC$ и $\angle BEC$ являются смежными. Таким образом, $\angle BEC = 180^{\circ} - \angle AEC = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$. Это означает, что $CE$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к гипотенузе.
3. Рассмотрим прямую $CB$. Так как $AC$ — диаметр окружности и $\angle ACB = 90^{\circ}$ (по условию, $ABC$ — прямоугольный треугольник с катетами $AC$ и $CB$), прямая $CB$ перпендикулярна диаметру в его концевой точке $C$. Следовательно, прямая $CB$ является касательной к окружности в точке $C$.
4. По условию, через точку $E$ проведена касательная, которая пересекает катет $CB$ в точке $D$. Таким образом, точка $D$ является точкой пересечения двух касательных к окружности: касательной $DE$ (в точке $E$) и касательной $DC$ (в точке $C$).
5. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, длины отрезков касательных от этой точки до точек касания равны. Отсюда следует, что $DE = DC$.
6. Поскольку $DE = DC$, треугольник $DCE$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В данном случае основанием является сторона $CE$, а углы при основании — это $\angle DEC$ и $\angle DCE$. Таким образом, $\angle DEC = \angle DCE$.
7. Найдем величину угла $\angle DCE$. Этот угол совпадает с углом $\angle BCE$. В прямоугольном треугольнике $BCE$ (мы доказали, что $\angle BEC = 90^{\circ}$), сумма острых углов равна $90^{\circ}$. Значит, $\angle BCE = 90^{\circ} - \angle CBE$. Так как $\angle CBE = \angle ABC = \beta$, получаем $\angle DCE = \angle BCE = 90^{\circ} - \beta$.
8. Из шагов 6 и 7 следует, что $\angle DEC = 90^{\circ} - \beta$.
9. Теперь найдем угол $\angle BED$ треугольника $BDE$. Этот угол является частью угла $\angle BEC$. Из расположения точек следует, что $\angle BEC = \angle BED + \angle DEC$.
10. Подставим известные нам значения: $90^{\circ} = \angle BED + (90^{\circ} - \beta)$. Из этого уравнения находим, что $\angle BED = \beta$.
11. Рассмотрим треугольник $BDE$. Мы знаем, что угол при вершине $B$, $\angle DBE$, равен $\beta$. Мы только что доказали, что угол при вершине $E$, $\angle BED$, также равен $\beta$.
12. Поскольку в треугольнике $BDE$ два угла равны ($\angle DBE = \angle BED = \beta$), этот треугольник является равнобедренным по признаку равнобедренного треугольника.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $BDE$ является равнобедренным, так как два его угла ($\angle DBE$ и $\angle BED$) равны.