Номер 9.3, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.3. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (рис. 9.10), $\cup AC = 50^\circ$, $\cup BD = 70^\circ$. Найдите $\angle AMC$.

Рис. 9.10

9.3. Хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M (рис. 9.10), $ \cup AC = 50^\circ, \cup BD = 70^\circ $. Найдите $ \angle AMC $.

Рис. 9.10

Для нахождения угла $ \angle AMC $, образованного пересечением двух хорд $ AB $ и $ CD $, можно использовать свойство вписанных углов и свойство углов треугольника.

Выполним дополнительное построение: соединим точки A и D, получив хорду AD. Рассмотрим треугольник $ \triangle ADM $. Угол $ \angle AMC $ является внешним углом для этого треугольника при вершине M. По теореме о внешнем угле треугольника, его мера равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:$ \angle AMC = \angle DAM + \angle ADM $

Угол $ \angle DAM $ (это тот же угол, что и $ \angle DAB $) является вписанным углом, опирающимся на дугу $ \text{◡}BD $. Величина вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. По условию, $ \text{◡}BD = 70^\circ $, следовательно:$ \angle DAM = \frac{1}{2} \text{◡}BD = \frac{1}{2} \cdot 70^\circ = 35^\circ $

Аналогично, угол $ \angle ADM $ (это тот же угол, что и $ \angle ADC $) является вписанным углом, опирающимся на дугу $ \text{◡}AC $. По условию, $ \text{◡}AC = 50^\circ $, следовательно:$ \angle ADM = \frac{1}{2} \text{◡}AC = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ $

Теперь, зная величины углов $ \angle DAM $ и $ \angle ADM $, мы можем найти искомый угол $ \angle AMC $:$ \angle AMC = 35^\circ + 25^\circ = 60^\circ $

Стоит отметить, что это решение является доказательством общей теоремы об угле между пересекающимися хордами. Согласно этой теореме, угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между его сторонами и сторонами вертикального ему угла. Применение этой теоремы напрямую дает тот же результат:$ \angle AMC = \frac{\text{◡}AC + \text{◡}BD}{2} = \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ $

Ответ: $ 60^\circ $.