Номер 8.56, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.56. На рисунке 8.21 изображены две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$. Постройте прямую $l$, которая касается этих окружностей так, что точки касания лежат в одной полуплоскости относительно прямой $O_1O_2$ (такую прямую называют внешней общей касательной к двум данным окружностям).

Рис. 8.21

8.56. На рисунке 8.21 изображены две окружности с центрами $O_1$ и $O_2$. Постройте прямую $l$, которая касается этих окружностей так, что точки касания лежат в одной полуплоскости относительно прямой $O_1O_2$ (такую прямую называют внешней общей касательной к двум данным окружностям).

Рис. 8.21

Для построения внешней общей касательной к двум окружностям (назовём их $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1$, и $\omega_2$ с центром $O_2$ и радиусом $R_2$), используется метод, сводящий задачу к более простой — построению касательной из точки к окружности. Для определённости будем считать, что радиус первой окружности не меньше радиуса второй, то есть $R_1 \geq R_2$.

1. С центром в точке $O_1$ построим вспомогательную окружность $\omega_3$ радиусом $R = R_1 - R_2$. Этот шаг позволяет свести задачу к поиску касательной из точки $O_2$ к этой новой окружности $\omega_3$.
2. Построим касательную из точки $O_2$ к вспомогательной окружности $\omega_3$. Для этого:
   • Найдём точку $M$ — середину отрезка, соединяющего центры $O_1$ и $O_2$.
   • Построим окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным $MO_1$.
   • Эта окружность пересечёт вспомогательную окружность $\omega_3$ в двух точках. Выберем одну из них и назовём её $A$. Отрезок $O_2A$ будет касательным к окружности $\omega_3$, а радиус $O_1A$ будет перпендикулярен этому отрезку.
3. Проведём луч с началом в точке $O_1$, проходящий через точку $A$. Точку пересечения этого луча с исходной окружностью $\omega_1$ обозначим $T_1$. Это и будет точка касания искомой прямой с первой окружностью.
4. Через точку $T_1$ проведём прямую $l$, параллельную отрезку $O_2A$. Эта прямая $l$ и является искомой внешней общей касательной.

Обоснование:Построенная прямая $l$ является касательной к окружности $\omega_1$, так как она проходит через точку $T_1$ на окружности и перпендикулярна радиусу $O_1T_1$ (поскольку $O_1T_1$ лежит на прямой $O_1A$, которая перпендикулярна $O_2A$, а $l$ построена параллельно $O_2A$).Докажем, что прямая $l$ также касается окружности $\omega_2$. Расстояние от центра $O_2$ до прямой $l$ равно длине перпендикуляра между параллельными прямыми $l$ и $O_2A$. Длина этого перпендикуляра равна длине отрезка $AT_1$. Вычислим её: $AT_1 = O_1T_1 - O_1A = R_1 - (R_1 - R_2) = R_2$. Поскольку расстояние от центра $O_2$ до прямой $l$ равно радиусу $R_2$, прямая $l$ касается окружности $\omega_2$. Так как точки касания лежат в одной полуплоскости относительно линии центров $O_1O_2$, построенная касательная является внешней.
Ответ: Прямая $l$, построенная в соответствии с приведённым выше планом, является искомой внешней общей касательной к двум данным окружностям.