Номер 8.49, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.49. Дан отрезок $AB$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что треугольник $AXB$ прямоугольный.

8.49. Дан отрезок $AB$. Найдите геометрическое место точек $X$ таких, что треугольник $AXB$ прямоугольный.

Для того чтобы треугольник $AXB$ был прямоугольным, один из его углов должен быть равен $90^\circ$. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: Прямой угол при вершине X ($\angle AXB = 90^\circ$)

Геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом, является окружность, построенная на этом отрезке как на диаметре. В данном случае, это будет окружность с диаметром $AB$. Точки $A$ и $B$ не могут быть точкой $X$, так как в этом случае треугольник вырождается в отрезок. Следовательно, из этой окружности необходимо исключить точки $A$ и $B$.

Ответ: Окружность с диаметром $AB$, за исключением точек $A$ и $B$.

Случай 2: Прямой угол при вершине A ($\angle XAB = 90^\circ$)

Если прямой угол находится при вершине $A$, это означает, что сторона $AX$ должна быть перпендикулярна стороне $AB$. Геометрическим местом точек $X$, удовлетворяющих этому условию, является прямая, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная прямой, содержащей отрезок $AB$. Точка $X$ не может совпадать с точкой $A$, так как в этом случае треугольник не образуется. Поэтому точку $A$ следует исключить.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $A$ и перпендикулярная отрезку $AB$, за исключением самой точки $A$.

Случай 3: Прямой угол при вершине B ($\angle XBA = 90^\circ$)

Аналогично второму случаю, если прямой угол находится при вершине $B$, то сторона $BX$ должна быть перпендикулярна стороне $AB$. Геометрическим местом таких точек $X$ является прямая, проходящая через точку $B$ и перпендикулярная прямой, содержащей отрезок $AB$. Точка $X$ не может совпадать с точкой $B$, поэтому точку $B$ необходимо исключить.

Ответ: Прямая, проходящая через точку $B$ и перпендикулярная отрезку $AB$, за исключением самой точки $B$.

Итоговое геометрическое место точек

Искомое геометрическое место точек является объединением всех точек, найденных в трех рассмотренных случаях.

Ответ: Искомое геометрическое место точек состоит из окружности, построенной на отрезке $AB$ как на диаметре (без точек $A$ и $B$), и двух прямых, перпендикулярных отрезку $AB$ и проходящих через его концы — точки $A$ и $B$ (также без самих точек $A$ и $B$).