Номер 8.46, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.46. Постройте треугольник по стороне, противолежащему ей углу и медиане, проведённой к данной стороне.

Пусть требуется построить треугольник $ABC$ по стороне $BC$, равной данному отрезку $a$, противолежащему углу $\angle BAC$, равному данному углу $\alpha$, и медиане $AM$, проведенной к стороне $BC$ и равной данному отрезку $m_a$.

Предположим, что искомый треугольник $ABC$ построен. Сторона $BC$ и ее середина $M$ зафиксированы. Вершина $A$ должна удовлетворять двум условиям:

1. Она должна лежать на геометрическом месте точек (ГМТ), из которых отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Таким ГМТ является дуга окружности, проходящая через точки $B$ и $C$.
2. Она должна быть удалена от точки $M$ на расстояние $m_a$. Таким ГМТ является окружность с центром в точке $M$ и радиусом $m_a$.

Следовательно, искомая вершина $A$ является точкой пересечения этих двух ГМТ. Это позволяет разработать следующий план построения.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $BC$, равный данной стороне $a$.
2. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BC$ и отмечаем его середину — точку $M$.
3. Строим дугу окружности — ГМТ, из которого отрезок $BC$ виден под углом $\alpha$. Для этого:
   • В точке $B$ к прямой $BC$ строим луч $BD$ так, чтобы угол $\angle CBD$ был равен $\alpha$.
   • В точке $B$ строим прямую $l$, перпендикулярную лучу $BD$.
   • Точка $O$, в которой пересекаются прямая $l$ и серединный перпендикуляр к $BC$, является центром искомой окружности.
   • Строим дугу окружности с центром $O$ и радиусом $OB$ (в той же полуплоскости относительно $BC$, где не лежит луч $BD$).
4. Строим окружность с центром в точке $M$ и радиусом, равным данной медиане $m_a$.
5. Точка (или точки) пересечения построенной дуги и окружности является искомой вершиной $A$.
6. Соединяем точку $A$ с точками $B$ и $C$. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

В построенном треугольнике $ABC$ сторона $BC$ равна $a$ по построению. Точка $M$ — середина $BC$, а вершина $A$ лежит на окружности с центром $M$ и радиусом $m_a$, значит, $AM$ — медиана, и ее длина равна $m_a$. Вершина $A$ также лежит на дуге окружности, построенной так, что угол, вписанный в нее и опирающийся на хорду $BC$, равен углу между хордой $BC$ и касательной $BD$, то есть $\angle BAC = \angle CBD = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник удовлетворяет всем условиям задачи.

Задача имеет решение, если окружность с центром $M$ и радиусом $m_a$ пересекает дугу, построенную на отрезке $BC$. Это зависит от соотношения между $a$, $\alpha$ и $m_a$.

Максимальное расстояние от точки $M$ до точки на дуге достигается в вершине $P$ равнобедренного треугольника с основанием $BC$ и углом при вершине $\alpha$. Длина медианы в этом случае равна высоте, и ее можно вычислить: $PM = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2})$. Минимальное расстояние от $M$ до точек дуги (не включая концы $B$ и $C$) больше, чем $a/2$. Таким образом, для существования решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $ \frac{a}{2} < m_a \le \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2}) $.

• Если $ m_a > \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2}) $ или $ m_a \le \frac{a}{2} $, то ГМТ не пересекаются (или пересекаются в точках $B$ и $C$, что дает вырожденный треугольник), и решений нет.
• Если $ m_a = \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2}) $, то окружность и дуга касаются в одной точке. Задача имеет одно решение (равнобедренный треугольник).
• Если $ \frac{a}{2} < m_a < \frac{a}{2} \cot(\frac{\alpha}{2}) $, то окружность и дуга пересекаются в двух точках. Задача имеет два решения (два симметричных относительно серединного перпендикуляра к $BC$, но конгруэнтных друг другу треугольника).

Ответ: Искомый треугольник строится по приведенному алгоритму. Задача имеет от нуля до двух конгруэнтных решений в одной полуплоскости в зависимости от соотношения между длиной стороны, медианы и величиной угла, как указано в исследовании.