Номер 8.44, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.44. Дана окружность, в которой проведён диаметр $AB$. Вне окружности отметили точку $C$ так, как показано на рисунке 8.20. Как, пользуясь только линейкой, провести через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$?

Рис. 8.20

8.44. Дана окружность, в которой проведён диаметр $AB$. Вне окружности отметили точку $C$ так, как показано на рисунке 8.20. Как, пользуясь только линейкой, провести через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$?

Рис. 8.20

Для построения прямой, проходящей через точку C и перпендикулярной прямой AB, используя только линейку, можно применить свойства высот треугольника. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Соединим точку C с точками A и B с помощью линейки. Получим две прямые: CA и CB.

2. Прямая CA пересекает окружность в точке A и еще в одной точке, которую обозначим D. Аналогично, прямая CB пересекает окружность в точке B и еще в одной точке, которую обозначим E.

3. Теперь проведем прямые AE и BD. Эти прямые содержат высоты треугольника $\triangle ABC$.

4. Рассмотрим отрезок AE. Угол $\angle AEB$ является вписанным в окружность и опирается на ее диаметр AB. Следовательно, его величина составляет $90^\circ$. Это означает, что прямая AE перпендикулярна прямой BC. Таким образом, AE — это высота треугольника $\triangle ABC$, опущенная из вершины A.

5. Рассмотрим отрезок BD. Угол $\angle ADB$ также является вписанным и опирается на диаметр AB, поэтому $\angle ADB = 90^\circ$. Это означает, что прямая BD перпендикулярна прямой AC. Таким образом, BD — это высота треугольника $\triangle ABC$, опущенная из вершины B.

6. Найдем точку пересечения построенных высот AE и BD. Обозначим эту точку H. Так как все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, H является ортоцентром треугольника $\triangle ABC$.

7. Третья высота треугольника, опущенная из вершины C на сторону AB, также должна проходить через ортоцентр H. Следовательно, прямая, проходящая через точки C и H, перпендикулярна прямой AB.

8. Проводим прямую через точки C и H. Эта прямая является искомым перпендикуляром к прямой AB.

Ответ:

Необходимо провести прямые CA и CB до пересечения с окружностью в точках D и E соответственно. Затем провести прямые AE и BD. Точку их пересечения обозначить H. Прямая, проходящая через точки C и H, будет перпендикулярна прямой AB.