Номер 8.38, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.38. В треугольнике $ABC$ высота $BD$, медиана $BM$ и биссектриса $BK$ делят угол $ABC$ на четыре равных угла. Найдите углы треугольника $ABC$.

8.38. В треугольнике $ABC$ высота $BD$, медиана $BM$ и биссектриса $BK$ делят угол $ABC$ на четыре равных угла. Найдите углы треугольника $ABC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ высота $BD$, медиана $BM$ и биссектриса $BK$ делят угол $\angle ABC$ на четыре равных угла. Обозначим величину каждого из этих малых углов за $x$. Тогда весь угол $\angle ABC = 4x$.

Поскольку $BK$ является биссектрисой угла $\angle ABC$, она делит его на два равных угла: $\angle ABK = \angle KBC = 2x$. Это означает, что линии $BD$ и $BM$ должны находиться по разные стороны от биссектрисы $BK$. Рассмотрим один из двух возможных случаев расположения этих линий. Второй случай (когда $BD$ и $BM$ меняются местами) приведет к тому же набору углов, только углы $A$ и $C$ поменяются местами.

Случай 1: Порядок линий, исходящих из вершины B, следующий: BA, BD, BK, BM, BC.

В этом случае, по условию, $\angle ABD = \angle DBK = \angle KBM = \angle MBC = x$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные высотой $BD$ ($BD \perp AC$).

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABD$: Сумма острых углов равна $90^\circ$. Мы знаем $\angle ABD = x$. Следовательно, $\angle A = 90^\circ - \angle ABD = 90^\circ - x$.

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle BDC$: Угол $\angle DBC$ состоит из трех частей: $\angle DBC = \angle DBK + \angle KBM + \angle MBC = x + x + x = 3x$. Следовательно, $\angle C = 90^\circ - \angle DBC = 90^\circ - 3x$.

Теперь воспользуемся тем, что $BM$ — медиана, то есть $M$ — середина стороны $AC$ и $AM = MC$. Применим теорему синусов к треугольникам $\triangle ABM$ и $\triangle CBM$.

3. В треугольнике $\triangle ABM$: Углы равны: $\angle A = 90^\circ - x$ и $\angle ABM = \angle ABD + \angle DBK + \angle KBM = 3x$. По теореме синусов: $\frac{AM}{\sin(\angle ABM)} = \frac{BM}{\sin(\angle A)} \implies \frac{AM}{\sin(3x)} = \frac{BM}{\sin(90^\circ - x)}$ Отсюда $AM = \frac{BM \cdot \sin(3x)}{\cos(x)}$.

4. В треугольнике $\triangle CBM$: Углы равны: $\angle C = 90^\circ - 3x$ и $\angle CBM = x$. По теореме синусов: $\frac{MC}{\sin(\angle CBM)} = \frac{BM}{\sin(\angle C)} \implies \frac{MC}{\sin(x)} = \frac{BM}{\sin(90^\circ - 3x)}$ Отсюда $MC = \frac{BM \cdot \sin(x)}{\cos(3x)}$.

5. Приравниваем выражения для $AM$ и $MC$: $\frac{BM \cdot \sin(3x)}{\cos(x)} = \frac{BM \cdot \sin(x)}{\cos(3x)}$ $\sin(3x)\cos(3x) = \sin(x)\cos(x)$ Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$: $\frac{1}{2}\sin(6x) = \frac{1}{2}\sin(2x)$ $\sin(6x) = \sin(2x)$

Это уравнение имеет две серии решений:

• $6x = 2x + 360^\circ k \implies 4x = 360^\circ k \implies x = 90^\circ k$. Это решение не подходит, так как при $k=0$ все углы нулевые, а при $k \ge 1$ углы треугольника слишком велики.
• $6x = 180^\circ - 2x + 360^\circ k \implies 8x = 180^\circ + 360^\circ k \implies x = 22.5^\circ + 45^\circ k$.

При $k=0$ получаем $x = 22.5^\circ$. Если $k \ge 1$, угол $\angle B = 4x$ будет больше $180^\circ$. Следовательно, единственное подходящее решение — $x = 22.5^\circ$.

6. Находим углы треугольника $ABC$: $\angle A = 90^\circ - x = 90^\circ - 22.5^\circ = 67.5^\circ$. $\angle B = 4x = 4 \cdot 22.5^\circ = 90^\circ$. $\angle C = 90^\circ - 3x = 90^\circ - 3 \cdot 22.5^\circ = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ$.

Проверка: $67.5^\circ + 90^\circ + 22.5^\circ = 180^\circ$.

Ответ: Углы треугольника $ABC$ равны $90^\circ, 67.5^\circ, 22.5^\circ$.