Номер 8.36, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.36. Докажите, что описанная окружность треугольника $ABC$, биссектриса угла $B$ и серединный перпендикуляр стороны $AC$ проходят через одну точку.

8.36. Докажите, что описанная окружность треугольника $ABC$, биссектриса угла $B$ и серединный перпендикуляр стороны $AC$ проходят через одну точку.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и его описанную окружность. Пусть биссектриса угла $B$ пересекает описанную окружность в точке $M$, отличной от вершины $B$. Нам нужно доказать, что эта точка $M$ также лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Доказательство

1. Поскольку $BM$ является биссектрисой угла $B$, то она делит угол $\angle ABC$ на два равных угла: $\angle ABM = \angle CBM$.

2. Углы $\angle ABM$ и $\angle CBM$ являются вписанными в описанную окружность треугольника $ABC$. Вписанные углы измеряются половиной дуги, на которую они опираются.
Угол $\angle ABM$ опирается на дугу $AM$.
Угол $\angle CBM$ опирается на дугу $CM$.

3. Так как $\angle ABM = \angle CBM$, то и дуги, на которые они опираются, равны: $\cup AM = \cup CM$.

4. В окружности равные дуги стягиваются равными хордами. Следовательно, хорды $AM$ и $CM$ равны: $AM = CM$.

5. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, есть серединный перпендикуляр к этому отрезку. Поскольку точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $C$ ($AM = CM$), она принадлежит серединному перпендикуляру к стороне $AC$.

Таким образом, мы показали, что точка пересечения биссектрисы угла $B$ и описанной окружности ($M$) также лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Это означает, что все три указанных объекта проходят через одну и ту же точку $M$.

Ответ: Что и требовалось доказать.