Номер 8.31, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.31. Отрезок $AH$ — высота треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle BAH = \angle OAC$, где точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$.

8.31. Отрезок AH — высота треугольника ABC. Докажите, что $\angle BAH = \angle OAC$, где точка O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим три возможных случая для угла $B$ треугольника $ABC$.

1. Угол $B$ — острый ($\angle B < 90^\circ$)

Поскольку $AH$ — высота, проведенная к стороне $BC$, то $\triangle ABH$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. Из этого следует, что сумма острых углов $\angle B$ и $\angle BAH$ равна $90^\circ$.

$\angle BAH + \angle B = 90^\circ$

Отсюда выразим $\angle BAH$:

$\angle BAH = 90^\circ - \angle B$

Теперь рассмотрим угол $\angle OAC$. Точка $O$ — центр описанной окружности, поэтому отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы ($OA = OC = R$). Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

Угол $\angle AOC$ является центральным углом, опирающимся на дугу $AC$. Угол $\angle B$ — вписанный угол, опирающийся на ту же дугу. По теореме о центральном и вписанном углах, величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла:

$\angle AOC = 2\angle B$

В равнобедренном треугольнике $AOC$ углы при основании равны ($\angle OAC = \angle OCA$), и сумма всех углов равна $180^\circ$:

$\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$

$2\angle OAC + 2\angle B = 180^\circ$

Разделим обе части уравнения на 2:

$\angle OAC + \angle B = 90^\circ$

Отсюда выразим $\angle OAC$:

$\angle OAC = 90^\circ - \angle B$

Сравнивая полученные выражения для $\angle BAH$ и $\angle OAC$, мы видим, что они равны. Утверждение доказано для остроугольного случая.

Ответ: $\angle BAH = \angle OAC$

2. Угол $B$ — тупой ($\angle B > 90^\circ$)

В этом случае основание высоты $H$ будет лежать на продолжении стороны $CB$ за точку $B$. Треугольник $AHB$ по-прежнему прямоугольный, но его угол при вершине $B$, то есть $\angle ABH$, является смежным с углом $\angle ABC$ треугольника. Поэтому:

$\angle ABH = 180^\circ - \angle B$

Из прямоугольного треугольника $AHB$ находим:

$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - (180^\circ - \angle B) = \angle B - 90^\circ$

Теперь рассмотрим $\angle OAC$. Треугольник $AOC$ все так же равнобедренный ($OA=OC$). Однако, когда угол $B$ тупой, вписанный угол $\angle B$ опирается на большую дугу $AC$. Центральный угол, опирающийся на меньшую дугу $AC$ (тот, что является углом в $\triangle AOC$), связан с углом $B$ соотношением:

$\angle AOC = 2(180^\circ - \angle B) = 360^\circ - 2\angle B$

Из суммы углов в равнобедренном $\triangle AOC$:

$2\angle OAC + \angle AOC = 180^\circ$

$2\angle OAC + (360^\circ - 2\angle B) = 180^\circ$

$2\angle OAC = 180^\circ - 360^\circ + 2\angle B = 2\angle B - 180^\circ$

$\angle OAC = \angle B - 90^\circ$

Сравнивая полученные выражения, мы снова приходим к выводу, что $\angle BAH = \angle OAC$.

Ответ: $\angle BAH = \angle OAC$

3. Угол $B$ — прямой ($\angle B = 90^\circ$)

Если $\angle B = 90^\circ$, то треугольник $ABC$ — прямоугольный. Высота $AH$, опущенная из вершины $A$, совпадает со стороной $AB$. Точка $H$ совпадает с точкой $B$. Таким образом, угол $\angle BAH$ — это угол между отрезками $AB$ и $AB$, то есть:

$\angle BAH = 0^\circ$

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности $O$ лежит на середине гипотенузы $AC$. Это означает, что точка $O$ лежит на отрезке $AC$. Следовательно, угол $\angle OAC$, образованный отрезками $OA$ и $AC$, которые лежат на одной прямой, также равен нулю:

$\angle OAC = 0^\circ$

Таким образом, и в этом случае равенство выполняется.

Ответ: $\angle BAH = \angle OAC = 0^\circ$. Что и требовалось доказать.