Номер 8.29, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.29. В окружности проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $M$. Докажите, что прямая, содержащая высоту треугольника $DMB$, содержит также медиану треугольника $CMA$.

8.29. В окружности проведены две перпендикулярные хорды $AB$ и $CD$, пересекающиеся в точке $M$. Докажите, что прямая, содержащая высоту треугольника $DMB$, содержит также медиану треугольника $CMA$.

Пусть $AB$ и $CD$ — две перпендикулярные хорды, пересекающиеся в точке $M$.Рассмотрим треугольники $\triangle DMB$ и $\triangle CMA$. Поскольку хорды перпендикулярны, углы $\angle DMB$ и $\angle CMA$ являются прямыми, то есть $\angle DMB = \angle CMA = 90^\circ$. Таким образом, оба треугольника — прямоугольные.

Проведем из вершины $M$ высоту $MH$ на гипотенузу $DB$ в треугольнике $\triangle DMB$. Также проведем из вершины $M$ медиану $MK$ на гипотенузу $CA$ в треугольнике $\triangle CMA$. Нам нужно доказать, что прямая, содержащая высоту $MH$, совпадает с прямой, содержащей медиану $MK$. Для этого достаточно доказать, что точки $H$, $M$ и $K$ лежат на одной прямой.

1. В прямоугольном треугольнике $\triangle DMB$ ($ \angle DMB = 90^\circ $) $MH$ является высотой, опущенной на гипотенузу $DB$. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и катетом равен углу, противолежащему этому катету. Следовательно, угол между высотой $MH$ и катетом $MD$ равен углу при вершине $B$:$ \angle HMD = \angle MBD $.

2. В прямоугольном треугольнике $\triangle CMA$ ($ \angle CMA = 90^\circ $) $MK$ является медианой, проведенной к гипотенузе $CA$. По свойству медианы прямоугольного треугольника, ее длина равна половине длины гипотенузы: $MK = \frac{1}{2}CA = KC$.Следовательно, треугольник $\triangle MKC$ является равнобедренным с основанием $MC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:$ \angle KMC = \angle KCM $.

3. Рассмотрим вписанные в окружность углы. Углы $\angle MBD$ (тот же, что и $\angle ABD$) и $\angle KCM$ (тот же, что и $\angle ACD$) опираются на одну и ту же дугу $AD$. Следовательно, эти углы равны:$ \angle MBD = \angle ACD $.

4. Теперь объединим полученные равенства. Из шагов 1, 2 и 3 следует:$ \angle HMD = \angle MBD $$ \angle MBD = \angle ACD $$ \angle ACD = \angle KCM = \angle KMC $

Отсюда мы получаем, что $ \angle HMD = \angle KMC $.

Точки $C$, $M$ и $D$ лежат на одной прямой (хорда $CD$), причем точка $M$ находится между $C$ и $D$. Это означает, что лучи $MC$ и $MD$ являются противоположно направленными. Равенство $ \angle HMD = \angle KMC $ означает, что эти углы являются вертикальными. Поскольку они имеют общую вершину $M$, их стороны $MH$ и $MK$ лежат на одной прямой.Таким образом, точки $H$, $M$ и $K$ коллинеарны.

Следовательно, прямая, содержащая высоту треугольника $DMB$ (прямая $MH$), содержит также медиану треугольника $CMA$ (прямую $MK$), что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.