Номер 8.30, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.30. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Прямая $AH$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $A_1$. Докажите, что прямая $BC$ делит отрезок $HA_1$ пополам.

8.30. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$. Прямая $AH$ пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $A_1$. Докажите, что прямая $BC$ делит отрезок $HA_1$ пополам.

Пусть $AD$ и $BE$ — высоты треугольника $ABC$, проведенные из вершин $A$ и $B$ к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. Точка $H$ — ортоцентр треугольника $ABC$, является точкой пересечения его высот, следовательно, $H$ лежит на отрезках $AD$ и $BE$.

Прямая $AH$ совпадает с прямой, содержащей высоту $AD$. По условию, эта прямая пересекает описанную окружность треугольника $ABC$ в точке $A_1$. Точка пересечения высоты $AD$ со стороной $BC$ — это точка $D$. Таким образом, точки $A$, $H$, $D$ и $A_1$ лежат на одной прямой.

Прямая $BC$ пересекает отрезок $HA_1$ в точке $D$. Чтобы доказать, что прямая $BC$ делит отрезок $HA_1$ пополам, необходимо показать, что точка $D$ является серединой отрезка $HA_1$, то есть что выполняется равенство $HD = DA_1$.

Для доказательства этого равенства рассмотрим треугольники $\triangle BHD$ и $\triangle BDA_1$. Мы докажем, что эти треугольники равны.

1. Сторона $BD$ у этих треугольников общая.

2. Поскольку $AD$ — высота, опущенная на сторону $BC$, то $AD \perp BC$. Это означает, что $\angle BDH = 90^\circ$. Так как точки $H$, $D$, $A_1$ лежат на одной прямой, то и $\angle BDA_1 = 90^\circ$.

3. Сравним углы $\angle HBD$ и $\angle A_1BD$.

Угол $\angle HBD$ является частью угла $\angle ABC$. Так как $H$ — ортоцентр, прямая $BH$ содержит высоту $BE$. Следовательно, $\angle HBD$ — это тот же угол, что и $\angle EBC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle BEC$ ($\angle BEC = 90^\circ$) сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle EBC = 90^\circ - \angle C$.

Угол $\angle A_1BD$ совпадает с углом $\angle A_1BC$. Точки $A$, $B$, $C$, $A_1$ лежат на описанной окружности. Вписанные углы $\angle A_1BC$ и $\angle A_1AC$ опираются на одну и ту же дугу $A_1C$. Следовательно, эти углы равны: $\angle A_1BC = \angle A_1AC$. Угол $\angle A_1AC$ совпадает с углом $\angle DAC$. В прямоугольном треугольнике $\triangle ADC$ ($\angle ADC = 90^\circ$) имеем: $\angle DAC = 90^\circ - \angle C$.

Таким образом, мы получили, что $\angle HBD = 90^\circ - \angle C$ и $\angle A_1BD = 90^\circ - \angle C$. Отсюда следует, что $\angle HBD = \angle A_1BD$.

Итак, в прямоугольных треугольниках $\triangle BHD$ и $\triangle BDA_1$:

• катет $BD$ — общий;
• прилежащий к нему острый угол $\angle HBD$ равен прилежащему острому углу $\angle A_1BD$.

Следовательно, треугольники $\triangle BHD$ и $\triangle BDA_1$ равны по катету и прилежащему острому углу.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, катет $HD$ треугольника $\triangle BHD$ равен катету $DA_1$ треугольника $\triangle BDA_1$:

$HD = DA_1$

Поскольку точка $D$ лежит на прямой $BC$ и делит отрезок $HA_1$ на две равные части, это означает, что прямая $BC$ делит отрезок $HA_1$ пополам.

Ответ: Утверждение доказано. Прямая $BC$ перпендикулярна отрезку $HA_1$ и проходит через его середину, следовательно, она делит его пополам.