Номер 8.37, страница 63 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.37. В треугольнике $ABC$ проведены высота $BD$, медиана $BM$ и биссектриса $BK$. Известно, что $\angle DBK = \angle KBM$. Докажите, что $\angle ABC = 90^{\circ}$.

8.37. В треугольнике ABC проведены высота BD, медиана BM и биссектриса BK. Известно, что $\angle DBK = \angle KBM$. Докажите, что $\angle ABC = 90^\circ$.

Доказательство:

Введем следующие обозначения для углов: пусть $∠ABK = ∠KBC = \beta$, поскольку $BK$ — биссектриса угла $∠ABC$. По условию задачи, $∠DBK = ∠KBM$. Обозначим этот угол как $\alpha$, то есть $∠DBK = ∠KBM = \alpha$.

Теперь выразим углы $∠ABD$ и $∠CBM$ через $\beta$ и $\alpha$. В зависимости от расположения точек $D, K, M$ на стороне $AC$, мы можем либо складывать, либо вычитать углы. Предположим, что точка $K$ лежит между $D$ и $M$. Тогда:

• $∠ABD = ∠ABK - ∠DBK = \beta - \alpha$
• $∠CBM = ∠CBK - ∠KBM = \beta - \alpha$

Если бы порядок точек был другим, например, $D$ между $K$ и $M$, то $∠ABK = ∠ABD + ∠DBK$ и $∠CBK = ∠CBM + ∠MBK$, что привело бы к тем же конечным соотношениям. Таким образом, независимо от порядка точек, мы получаем ключевое равенство:
$∠ABD = ∠CBM$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $△ABD$, в котором $∠BDA = 90°$, так как $BD$ — высота. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90°$, следовательно:
$∠A = 90° - ∠ABD$.

Теперь рассмотрим сумму углов во всем треугольнике $△ABC$:
$∠A + ∠ABC + ∠C = 180°$.
Подставим выражение для $∠A$:
$(90° - ∠ABD) + ∠ABC + ∠C = 180°$.
Угол $∠ABC$ можно представить как сумму $∠ABM + ∠CBM$. Подставим это в уравнение:
$(90° - ∠ABD) + (∠ABM + ∠CBM) + ∠C = 180°$.
Так как мы установили, что $∠ABD = ∠CBM$, эти два угла взаимно уничтожаются:
$90° + ∠ABM + ∠C = 180°$.
Отсюда получаем еще одно важное соотношение:
$∠C = 90° - ∠ABM$.

Теперь воспользуемся свойством медианы $BM$. Применим теорему синусов к треугольникам $△ABM$ и $△CBM$:
Для $△ABM$: $\frac{AM}{\sin(∠ABM)} = \frac{BM}{\sin(∠A)}$
Для $△CBM$: $\frac{CM}{\sin(∠CBM)} = \frac{BM}{\sin(∠C)}$
Поскольку $BM$ — медиана, то $AM = CM$. Приравнивая выражения для $BM$, деленные на $AM$ и $CM$ соответственно, получаем:
$\frac{\sin(∠A)}{\sin(∠ABM)} = \frac{\sin(∠C)}{\sin(∠CBM)}$

Подставим в это равенство выведенные нами соотношения: $∠A = 90° - ∠ABD$, $∠C = 90° - ∠ABM$ и $∠CBM = ∠ABD$.
$\frac{\sin(90° - ∠ABD)}{\sin(∠ABM)} = \frac{\sin(90° - ∠ABM)}{\sin(∠ABD)}$
Используя формулы приведения ($\sin(90° - x) = \cos(x)$), получаем:
$\frac{\cos(∠ABD)}{\sin(∠ABM)} = \frac{\cos(∠ABM)}{\sin(∠ABD)}$
Из этой пропорции следует:
$\sin(∠ABD) \cos(∠ABD) = \sin(∠ABM) \cos(∠ABM)$
Применяя формулу синуса двойного угла ($2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$), умножим обе части на 2:
$\sin(2∠ABD) = \sin(2∠ABM)$

Это равенство выполняется в двух случаях:

1. $2∠ABD = 2∠ABM \implies ∠ABD = ∠ABM$. Это означает, что лучи $BD$ и $BM$ совпадают. Следовательно, высота является медианой, что делает треугольник $ABC$ равнобедренным ($AB = BC$). В этом случае высота, медиана и биссектриса из вершины $B$ совпадают, и $∠DBK = ∠KBM = 0$. Условие задачи выполняется, но это не доказывает, что угол $∠ABC$ равен $90°$. Этот случай (равнобедренного треугольника) является вырожденным для данной постановки задачи, где подразумевается, что $BD$, $BM$ и $BK$ — различные линии.
2. $2∠ABD + 2∠ABM = 180° \implies ∠ABD + ∠ABM = 90°$.

Рассмотрим второй случай. Вспомним, что мы доказали равенство $∠ABD = ∠CBM$. Подставим это в уравнение:
$∠CBM + ∠ABM = 90°$.
Сумма углов $∠ABM$ и $∠CBM$ как раз и составляет угол $∠ABC$.
Следовательно, $∠ABC = 90°$.

Ответ:

Что и требовалось доказать.