Номер 8.43, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.43. Прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану, выходящие из вершины B треугольника ABC, пересекают его описанную окружность в точках M, N и K соответственно. Постройте треугольник ABC по точкам M, N и K.

8.43. Прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану, выходящие из вершины $B$ треугольника $ABC$, пересекают его описанную окружность в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Постройте треугольник $ABC$ по точкам $M$, $N$ и $K$.

Анализ и план решения

Пусть $\Omega$ - описанная окружность треугольника $ABC$ с центром в точке $O$. Прямые, содержащие высоту, биссектрису и медиану из вершины $B$, пересекают $\Omega$ в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Задача состоит в построении треугольника $ABC$ по известным точкам $M$, $N$, $K$.

1. Свойство биссектрисы. Прямая $BN$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. По известной теореме, биссектриса угла треугольника пересекает описанную окружность в середине дуги, стягиваемой противоположной стороной. Следовательно, точка $N$ является серединой дуги $AC$, не содержащей точку $B$. Это означает, что прямая, проходящая через центр окружности $O$ и точку $N$, является серединным перпендикуляром к хорде $AC$. Таким образом, $ON \perp AC$.

2. Свойство высоты. Прямая $BM$ содержит высоту, опущенную из вершины $B$ на сторону $AC$. По определению высоты, $BM \perp AC$.

3. Нахождение вершины $B$. Из пунктов 1 и 2 следует, что прямые $BM$ и $ON$ перпендикулярны одной и той же прямой $AC$. Следовательно, эти прямые параллельны: $BM \parallel ON$. Это свойство позволяет нам найти положение вершины $B$.

4. Свойство медианы. Прямая $BK$ содержит медиану, проведенную из вершины $B$. Пусть $D$ - середина стороны $AC$. Тогда точка $D$ лежит на прямой $BK$.

5. Нахождение стороны $AC$. Поскольку $D$ - середина хорды $AC$, прямая $OD$ является серединным перпендикуляром к $AC$, то есть $OD \perp AC$. Ранее мы установили, что $ON \perp AC$. Так как обе прямые $OD$ и $ON$ проходят через точку $O$ и перпендикулярны прямой $AC$, точки $O$, $D$ и $N$ лежат на одной прямой. Таким образом, точка $D$ (середина стороны $AC$) является точкой пересечения прямой $BK$ и прямой $ON$. Зная положение точки $D$ и направление прямой $AC$ (перпендикулярно $ON$), мы можем построить сторону $AC$.

На основе этого анализа можно составить следующий алгоритм построения.

Алгоритм построения

1. По данным точкам $M$, $N$, $K$ строим описанную окружность $\Omega$. Ее центр $O$ находится как точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам $MN$ и $NK$.

2. Проводим прямую через точки $O$ и $N$.

3. Через точку $M$ проводим прямую, параллельную прямой $ON$. Точка пересечения этой прямой с окружностью $\Omega$, отличная от $M$, является вершиной $B$ искомого треугольника.

4. Проводим прямую через точки $B$ и $K$.

5. Находим точку $D$ как точку пересечения прямых $BK$ и $ON$. Эта точка является серединой стороны $AC$.

6. Через точку $D$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $ON$.

7. Точки пересечения построенной прямой с окружностью $\Omega$ являются вершинами $A$ и $C$.

8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$, получая искомый треугольник $ABC$.

Ответ: Вышеприведенный алгоритм описывает построение искомого треугольника $ABC$.