Номер 8.47, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.47. Постройте параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.

8.47. Постройте параллелограмм по двум сторонам и углу между диагоналями.

Задача решается методом вспомогательной фигуры. В основе решения лежит построение треугольника по стороне, медиане к этой стороне и углу между двумя другими сторонами.

Анализ

Предположим, что искомый параллелограмм ABCD построен. Пусть AB = a, BC = b — его заданные стороны, а α — угол между его диагоналями AC и BD. Пусть диагонали пересекаются в точке O.

Построим вспомогательную фигуру. На продолжении стороны AB за точку B отложим отрезок BE, равный AB. Таким образом, точка B является серединой отрезка AE, и длина этого отрезка равна AE = 2a.

Рассмотрим треугольник AEC. В этом треугольнике отрезок BC является медианой, проведенной к стороне AE, так как B — середина AE. Длина этой медианы равна b.

Воспользуемся свойством медианы треугольника (теоремой Аполлония): сумма квадратов двух сторон треугольника равна удвоенной сумме квадратов медианы к третьей стороне и половины этой стороны.

Для ΔAEC и медианы BC имеем:

$AC^2 + CE^2 = 2(BC^2 + AB^2)$

Подставляя известные длины, получаем:

$AC^2 + CE^2 = 2(b^2 + a^2)$ (1)

Теперь вспомним свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2) = 2(a^2 + b^2)$ (2)

Сравнивая выражения (1) и (2), получаем, что $CE^2 = BD^2$, а значит, CE = BD. То есть сторона CE вспомогательного треугольника AEC равна второй диагонали параллелограмма.

Теперь определим угол ACE. Рассмотрим векторы. Пусть $\vec{AC}$, $\vec{BD}$, $\vec{CE}$. Пусть точка A — начало координат. Тогда $\vec{E} = 2\vec{B}$ и $\vec{D} = \vec{C} - \vec{B}$.
$\vec{BD} = \vec{D} - \vec{B} = (\vec{C} - \vec{B}) - \vec{B} = \vec{C} - 2\vec{B}$.
$\vec{CE} = \vec{E} - \vec{C} = 2\vec{B} - \vec{C} = -(\vec{C} - 2\vec{B}) = -\vec{BD}$.
Векторы $\vec{CE}$ и $\vec{BD}$ коллинеарны, равны по модулю и противоположно направлены. Это означает, что прямые CE и BD параллельны.

Угол между диагоналями AC и BD равен α. Так как CE || BD, то угол между прямыми AC и CE также равен α. Однако угол ∠ACE в треугольнике может быть равен α или 180° - α. Из векторного равенства $\vec{CE} = -\vec{BD}$ следует, что угол между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{CE}$ будет смежным с углом между векторами $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$. Таким образом, ∠ACE = 180° - α.

Итак, задача сводится к построению точки C по известным точкам A и E (AE=2a) и точке B (середина AE) из двух условий:
1. Расстояние от C до B равно b ($BC=b$).
2. Угол ∠ACE равен 180° - α.

Точка C является пересечением двух геометрических мест точек: окружности с центром в B радиуса b и дуги окружности, из точек которой отрезок AE виден под углом 180° - α.

Построение

1. На произвольной прямой откладываем отрезок AE, равный 2a.
2. Делим отрезок AE пополам и отмечаем его середину — точку B.
3. Строим геометрическое место точек (ГМТ), из которых отрезок AE виден под углом 180° - α. Это дуга окружности. Для её построения:
   • Из точки A проводим луч под углом ∠EAX = 180° - (180° - α) = α к прямой AE.
   • Восстанавливаем в точке A перпендикуляр к этому лучу.
   • Строим серединный перпендикуляр к отрезку AE.
   • Точка K пересечения этих двух перпендикуляров является центром искомой окружности.
   • Строим дугу этой окружности с центром K и радиусом KA.
4. Строим окружность с центром в точке B и радиусом b.
5. Точка (или точки) пересечения построенной дуги и окружности с центром B является вершиной C искомого параллелограмма.
6. Соединяем точки A, B и C. Мы получили две смежные стороны параллелограмма.
7. Для нахождения четвертой вершины D строим окружность с центром в A радиусом b и окружность с центром в C радиусом a. Точка их пересечения (та, что образует выпуклый четырехугольник ABCD) будет вершиной D.
8. Соединяем вершины. Параллелограмм ABCD построен.

Доказательство

В построенном четырехугольнике ABCD стороны AB=a и BC=b по построению. Так как AD=BC=b и CD=AB=a (по построению точки D), ABCD является параллелограммом.
Осталось доказать, что угол между его диагоналями равен α.
Рассмотрим вспомогательный ΔAEC, где E — точка на продолжении AB такая, что B — середина AE. По построению, точка C лежит на дуге, из которой AE виден под углом 180° - α, т.е. ∠ACE = 180° - α.
В ΔAEC отрезок BC является медианой. По теореме Аполлония: $AC^2 + CE^2 = 2(AB^2 + BC^2) = 2(a^2 + b^2)$.
Для параллелограмма ABCD верно равенство $AC^2 + BD^2 = 2(a^2 + b^2)$.
Отсюда следует, что CE = BD.
Как было показано в анализе, из построения следует, что $\vec{CE} = -\vec{BD}$, значит прямые CE и BD параллельны.
Следовательно, угол между прямыми AC и BD равен углу между прямыми AC и CE. Угол между этими прямыми определяется как меньший из углов ∠ACE и 180° - ∠ACE.
Поскольку ∠ACE = 180° - α, то угол между прямыми равен $min(180° - α, 180° - (180° - α)) = min(180° - α, α)$.
Это и есть по определению угол α (если считать α острым) или 180° - α (если α тупой). Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Задача имеет решение, если окружность с центром B и радиусом b пересекает дугу, построенную на отрезке AE. Это возможно, когда расстояние от центра B до точек дуги не меньше и не больше радиуса b.

Аналитическое исследование приводит к условию, связывающему заданные величины:

$\sin(α) \le \frac{2ab}{a^2 + b^2}$

Это неравенство всегда верно, так как по неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом $a^2 + b^2 \ge 2ab$, откуда $\frac{2ab}{a^2 + b^2} \le 1$. Однако здесь есть тонкость: $\sin(α)$ может быть больше этого значения. Если $\sin(α) > \frac{2ab}{a^2 + b^2}$, то построение невозможно, и решения не существует.

• Если $\sin(α) < \frac{2ab}{a^2 + b^2}$, окружность и дуга пересекаются в двух точках, симметричных относительно серединного перпендикуляра к AE. Эти две точки приводят к построению двух конгруэнтных (зеркально-симметричных) параллелограммов. В этом случае задача имеет одно решение (с точностью до конгруэнтности).
• Если $\sin(α) = \frac{2ab}{a^2 + b^2}$, окружность и дуга касаются в одной точке. Задача имеет одно решение.
• Если $\sin(α) > \frac{2ab}{a^2 + b^2}$, пересечения нет. Задача не имеет решений.

Также необходимо, чтобы a > 0, b > 0 и 0° < α < 180°.

Ответ: задача решается с помощью построения вспомогательного треугольника, как описано выше. Решение существует при выполнении условия $\sin(α) \le \frac{2ab}{a^2 + b^2}$.