Номер 8.50, страница 64 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.50. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника $ABC$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Сторона $AB$ равна радиусу описанной окружности. Чему равен угол $AOB$, где точка $O$ — центр вписанной окружности?

8.50. Центры вписанной и описанной окружностей треугольника $\triangle ABC$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Сторона $AB$ равна радиусу описанной окружности. Чему равен угол $\angle AOB$, где точка $O$ — центр вписанной окружности?

Пусть $O_{circ}$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, а $R$ — ее радиус. Согласно условию задачи, точка $O$ является центром вписанной окружности (инцентром).

Рассмотрим треугольник $AO_{circ}B$. Его стороны $O_{circ}A$ и $O_{circ}B$ равны радиусу описанной окружности $R$. По условию, сторона $AB$ также равна $R$. Таким образом, треугольник $AO_{circ}B$ является равносторонним. Все его углы равны $60^\circ$, в частности, центральный угол $\angle AO_{circ}B = 60^\circ$.

Угол $\angle C$ треугольника $ABC$ — это вписанный угол, опирающийся на хорду $AB$. Величина центрального угла $\angle AO_{circ}B$, опирающегося на ту же хорду, связана с величиной вписанного угла $\angle C$. Эта связь зависит от взаимного расположения точек $C$ и $O_{circ}$ относительно прямой $AB$.

В условии сказано, что центры вписанной ($O$) и описанной ($O_{circ}$) окружностей лежат по разные стороны от прямой $AB$. Центр вписанной окружности $O$ всегда расположен внутри треугольника, а значит, точки $O$ и $C$ находятся по одну сторону от прямой $AB$. Из этих двух фактов следует, что точки $O_{circ}$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $AB$. Такое возможно тогда и только тогда, когда угол $\angle C$ является тупым, то есть $\angle C > 90^\circ$.

Для тупого угла $\angle C$ связь между вписанным углом и центральным углом, опирающимся на ту же хорду, выражается формулой: $\angle AO_{circ}B = 360^\circ - 2\angle C$.

Подставим известное значение $\angle AO_{circ}B = 60^\circ$ в эту формулу:$60^\circ = 360^\circ - 2\angle C$$2\angle C = 360^\circ - 60^\circ$$2\angle C = 300^\circ$$\angle C = 150^\circ$

Полученное значение $\angle C = 150^\circ$ подтверждает, что угол является тупым, что соответствует нашему выводу.

Теперь найдем искомый угол $\angle AOB$. Точка $O$ — это центр вписанной окружности, который является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Значит, $AO$ и $BO$ — биссектрисы углов $\angle A$ и $\angle B$ соответственно. Таким образом, $\angle OAB = \frac{\angle A}{2}$ и $\angle OBA = \frac{\angle B}{2}$.

В треугольнике $AOB$ сумма углов равна $180^\circ$:$\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - \left(\frac{\angle A}{2} + \frac{\angle B}{2}\right) = 180^\circ - \frac{\angle A + \angle B}{2}$

Из свойства суммы углов треугольника $ABC$ ($\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$) следует, что $\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle C$. Подставим это в выражение для $\angle AOB$:$\angle AOB = 180^\circ - \frac{180^\circ - \angle C}{2} = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{\angle C}{2}\right) = 90^\circ + \frac{\angle C}{2}$

Подставим найденное значение $\angle C = 150^\circ$:$\angle AOB = 90^\circ + \frac{150^\circ}{2} = 90^\circ + 75^\circ = 165^\circ$

Ответ: $165^\circ$.