Номер 8.55, страница 65 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

8.55. В окружность вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. На большем катете $BC$ отметили точку $D$ так, что $AC = BD$. Точка $E$ — середина дуги $ACB$. Найдите угол $DEC$.

8.55. В окружность вписан прямоугольный треугольник $ABC$ с гипотенузой $AB$. На большем катете $BC$ отметили точку $D$ так, что $AC = BD$. Точка $E$ – середина дуги $ACB$. Найдите угол $DEC$.

Поскольку прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$ вписан в окружность, его гипотенуза $AB$ является диаметром этой окружности.

Точка $E$ — середина дуги $ACB$. Дуга $ACB$ — это полуокружность, так как на неё опирается вписанный прямой угол $\angle ACB$. Середина полуокружности $E$ — это точка, для которой радиус $OE$ (где $O$ — центр окружности, середина $AB$) перпендикулярен диаметру $AB$.

Рассмотрим треугольник $AEB$. Он вписан в ту же окружность, и сторона $AB$ является диаметром. Следовательно, угол $\angle AEB$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Так как $E$ — середина дуги $AB$, то хорды, стягивающие равные дуги $AE$ и $EB$, равны: $AE = EB$. Таким образом, треугольник $AEB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником.

Выполним поворот плоскости вокруг точки $E$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке. Так как $AE = EB$ и угол $\angle AEB = 90^\circ$, при таком повороте точка $A$ перейдёт в точку $B$. Пусть точка $C$ при этом повороте переходит в точку $C'$.

По свойству поворота, треугольник $AEC$ равен треугольнику $BEC'$. Из этого равенства следует, что $AC = BC'$ и $\angle EAC = \angle EBC'$.

Так как точки $A, E, B, C$ лежат на одной окружности, вписанные углы $\angle EBC$ и $\angle EAC$, опирающиеся на одну и ту же дугу $EC$, равны. То есть, $\angle EBC = \angle EAC$.

Сравнивая полученные равенства углов, получаем $\angle EBC = \angle EBC'$. Это означает, что точка $C'$ лежит на луче $BC$.

По условию задачи, на катете $BC$ выбрана точка $D$ так, что $AC = BD$. Из равенства сторон, полученного из поворота, мы знаем, что $AC = BC'$. Следовательно, $BD = BC'$.

Поскольку точка $D$ лежит на отрезке $BC$, а точка $C'$ лежит на луче $BC$, и их расстояния от точки $B$ равны, точки $D$ и $C'$ совпадают.

Таким образом, искомый угол $\angle DEC$ есть не что иное, как угол $\angle CEC'$. По построению, точка $C'$ была получена поворотом точки $C$ вокруг центра $E$ на угол $90^\circ$. Следовательно, по определению поворота, угол $\angle CEC'$ равен углу поворота, то есть $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.