Номер 9.2, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.2. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается его сторон $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$. Найдите углы треугольника $A_1B_1C_1$, если $\angle A = 38^{\circ}$, $\angle B = 86^{\circ}$.

9.2. Вписанная окружность треугольника $ABC$ касается его сторон $AB$, $BC$ и $CA$ соответственно в точках $C_1$, $A_1$ и $B_1$. Найдите углы треугольника $A_1B_1C_1$, если $\angle A = 38^\circ$, $\angle B = 86^\circ$.

Для решения задачи сначала найдем третий угол треугольника $ABC$. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (38^\circ + 86^\circ) = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$.

Теперь найдем углы треугольника $A_1B_1C_1$. Пусть $O$ — центр вписанной окружности. Радиусы, проведенные из центра окружности в точки касания, перпендикулярны сторонам треугольника. Таким образом, $OA_1 \perp BC$, $OB_1 \perp CA$ и $OC_1 \perp AB$.

Рассмотрим четырехугольник $AC_1OB_1$. Сумма его внутренних углов равна $360^\circ$. Углы $\angle AC_1O$ и $\angle AB_1O$ прямые ($90^\circ$). Следовательно, мы можем найти центральный угол $\angle C_1OB_1$, который опирается на дугу $C_1B_1$:
$\angle C_1OB_1 = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle A = 180^\circ - \angle A$.

Угол $\angle B_1A_1C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$ является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу $C_1B_1$. Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
$\angle B_1A_1C_1 = \frac{1}{2}\angle C_1OB_1 = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle A)$.

Аналогичным образом, рассмотрев четырехугольники $BC_1OA_1$ и $CA_1OB_1$, можно вывести формулы для двух других углов треугольника $A_1B_1C_1$:
$\angle A_1B_1C_1 = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle B)$
$\angle B_1C_1A_1 = \frac{1}{2}(180^\circ - \angle C)$

Теперь, используя известные значения углов $\angle A = 38^\circ$, $\angle B = 86^\circ$ и найденное значение $\angle C = 56^\circ$, вычислим углы треугольника $A_1B_1C_1$:
$\angle B_1A_1C_1 = \frac{1}{2}(180^\circ - 38^\circ) = \frac{142^\circ}{2} = 71^\circ$.
$\angle A_1B_1C_1 = \frac{1}{2}(180^\circ - 86^\circ) = \frac{94^\circ}{2} = 47^\circ$.
$\angle B_1C_1A_1 = \frac{1}{2}(180^\circ - 56^\circ) = \frac{124^\circ}{2} = 62^\circ$.

Ответ: углы треугольника $A_1B_1C_1$ равны $71^\circ, 47^\circ, 62^\circ$.