Номер 9.7, страница 69 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.7. Докажите, что окружность, касающаяся боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точках $A$ и $C$ соответственно, проходит через центр вписанной окружности этого треугольника.

9.7. Докажите, что окружность, касающаяся боковых сторон $AB$ и $BC$ равнобедренного треугольника $ABC$ в точках $A$ и $C$ соответственно, проходит через центр вписанной окружности этого треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$, так что $AB = BC$. Пусть $\omega$ — это окружность, которая касается боковых сторон $AB$ и $BC$ в точках $A$ и $C$ соответственно. Пусть $O$ — центр этой окружности. Пусть $I$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$ (инцентр). Нам нужно доказать, что точка $I$ лежит на окружности $\omega$.

1. Свойства центра O окружности $\omega$

По определению касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, $OA \perp AB$ и $OC \perp BC$. Это означает, что $\angle OAB = 90^\circ$ и $\angle OCB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $\triangle OAB$ и $\triangle OCB$. Они оба прямоугольные. У них общая гипотенуза $OB$, а катеты $OA$ и $OC$ равны как радиусы одной окружности. Следовательно, $\triangle OAB \cong \triangle OCB$ по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует, что $\angle ABO = \angle CBO$. Это означает, что луч $BO$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

2. Свойства инцентра I

Инцентр $I$ треугольника $ABC$ является точкой пересечения его биссектрис. Значит, точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.

Поскольку и точка $O$, и точка $I$ лежат на биссектрисе угла $\angle ABC$, то точки $B, I, O$ лежат на одной прямой.

3. Доказательство принадлежности точки I окружности $\omega$

Чтобы доказать, что точка $I$ лежит на окружности $\omega$, достаточно доказать, что расстояние от центра $O$ до точки $I$ равно радиусу окружности, то есть $OI = OA$. Равенство $OI = OA$ будет выполняться, если треугольник $OAI$ является равнобедренным с основанием $AI$. Для этого достаточно доказать равенство углов при основании: $\angle OIA = \angle OAI$.

Обозначим углы треугольника $ABC$: $\angle BAC = \angle BCA = \alpha$ и $\angle ABC = \beta$. Поскольку треугольник равнобедренный, сумма его углов равна $2\alpha + \beta = 180^\circ$.

Найдем угол $\angle OAI$:
Угол $\angle OAI$ состоит из двух углов: $\angle OAC$ и $\angle CAI$.

В четырехугольнике $OABC$ сумма углов равна $360^\circ$. Мы знаем, что $\angle OAB = \angle OCB = 90^\circ$ и $\angle ABC = \beta$. Тогда $\angle AOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \beta = 180^\circ - \beta$.

Треугольник $OAC$ является равнобедренным, так как $OA = OC$ (радиусы). Углы при основании $AC$ равны: $\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2} = \frac{180^\circ - (180^\circ - \beta)}{2} = \frac{\beta}{2}$.

Так как $I$ — инцентр, $AI$ — биссектриса угла $\angle BAC$. Следовательно, $\angle CAI = \frac{\angle BAC}{2} = \frac{\alpha}{2}$.

Теперь можем найти $\angle OAI$: $\angle OAI = \angle OAC + \angle CAI = \frac{\beta}{2} + \frac{\alpha}{2} = \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Найдем угол $\angle OIA$:
Поскольку точки $B, I, O$ лежат на одной прямой, то $\angle OIA = \angle BIA$. Рассмотрим треугольник $ABI$. В нем: $AI$ — биссектриса $\angle BAC$, поэтому $\angle IAB = \frac{\alpha}{2}$. $BI$ — биссектриса $\angle ABC$, поэтому $\angle IBA = \frac{\beta}{2}$. Сумма углов в треугольнике $ABI$ равна $180^\circ$, поэтому: $\angle AIB = 180^\circ - \angle IAB - \angle IBA = 180^\circ - \frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = 180^\circ - \frac{\alpha + \beta}{2}$.

Из соотношения $2\alpha + \beta = 180^\circ$ выразим $\frac{\alpha + \beta}{2}$: $\alpha + \frac{\beta}{2} = 90^\circ \implies \alpha + \beta = 90^\circ + \frac{\beta}{2}$. $\frac{\alpha + \beta}{2} = 45^\circ + \frac{\beta}{4}$.

Подставим это в выражения для углов: $\angle OAI = \frac{\alpha + \beta}{2} = 45^\circ + \frac{\beta}{4}$. $\angle AIB = 180^\circ - (45^\circ + \frac{\beta}{4}) = 135^\circ - \frac{\beta}{4}$.

Произошла ошибка в рассуждениях. Давайте пересчитаем $\angle OIA$ другим способом. Пусть $D$ — середина основания $AC$. Тогда $BD$ — высота, медиана и биссектриса треугольника $ABC$. Прямая $BO$ также является осью симметрии для четырехугольника $OABC$, а значит, проходит через середину $AC$ и перпендикулярна ей. Таким образом, точки $B, I, O, D$ лежат на одной прямой $BD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADI$. $\angle ADI = 90^\circ$. $\angle DAI = \frac{\alpha}{2}$. Тогда $\angle AID = 90^\circ - \angle DAI = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Так как точки $O, I, D$ лежат на одной прямой, $\angle OIA = \angle AID = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Теперь сравним найденные углы: $\angle OAI = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $\angle OIA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$

Из $2\alpha + \beta = 180^\circ$ следует, что $\beta = 180^\circ - 2\alpha$. Подставим это в выражение для $\angle OAI$: $\angle OAI = \frac{\alpha + (180^\circ - 2\alpha)}{2} = \frac{180^\circ - \alpha}{2} = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$.

Таким образом, мы получили, что $\angle OAI = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$ и $\angle OIA = 90^\circ - \frac{\alpha}{2}$. Следовательно, $\angle OAI = \angle OIA$.

Это доказывает, что треугольник $OAI$ является равнобедренным с основанием $AI$, откуда следует, что $OA = OI$. Поскольку $OA$ — это радиус окружности $\omega$, а расстояние от ее центра $O$ до точки $I$ равно этому радиусу, то точка $I$ лежит на данной окружности.

Ответ: Что и требовалось доказать.