Номер 9.14, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.14. В окружности проведены хорды CD и CE, где точка C — середина дуги AB (рис. 9.15). Найдите угол DEC, если $\angle AMD = \alpha$.

9.14. В окружности проведены хорды $CD$ и $CE$, где точка $C$ — середина дуги $AB$ (рис. 9.15). Найдите угол $DEC$, если $\angle AMD = \alpha$.

Рис. 9.15

Угол $\angle AMD$ образован пересечением хорд $AB$ и $CD$. По теореме об угле между пересекающимися хордами его величина равна полусумме градусных мер дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями. В данном случае это дуги $AD$ и $BC$.

$\angle AMD = \frac{1}{2}(\text{◡}AD + \text{◡}BC)$

Из условия задачи нам известно, что $\angle AMD = \alpha$. Также дано, что точка $C$ — середина дуги $AB$. Это означает, что градусные меры дуг $AC$ и $BC$ равны: $\text{◡}AC = \text{◡}BC$.

Подставим известные данные в формулу для угла $\angle AMD$:

$\alpha = \frac{1}{2}(\text{◡}AD + \text{◡}BC) = \frac{1}{2}(\text{◡}AD + \text{◡}AC)$

Теперь рассмотрим искомый угол $\angle DEC$. Это вписанный угол, который опирается на дугу $DAC$. По теореме о вписанном угле, его величина равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Дуга $DAC$ является суммой дуг $AD$ и $AC$.

$\angle DEC = \frac{1}{2}(\text{◡}DAC) = \frac{1}{2}(\text{◡}AD + \text{◡}AC)$

Сравнивая полученные выражения для $\alpha$ и $\angle DEC$, мы видим, что они равны.

$\angle DEC = \alpha$

Ответ: $\alpha$.