Номер 9.21, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.21. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$, $P$ — вторая точка пересечения окружности, проходящей через точки $A, O, B$, с прямой $BC$ (рис. 9.17). Докажите, что прямая $AP$ касается окружности, проходящей через точки $A, O$ и $D$.

Рис. 9.17

9.21. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$, $P$ — вторая точка пересечения окружности, проходящей через точки $A$, $O$, $B$, с прямой $BC$ (рис. 9.17). Докажите, что прямая $AP$ касается окружности, проходящей через точки $A$, $O$ и $D$.

Рис. 9.17

Для того чтобы доказать, что прямая AP касается окружности, проходящей через точки A, O и D, в точке A, необходимо доказать, что угол между прямой AP и хордой AD этой окружности равен углу, вписанному в окружность и опирающемуся на эту хорду. В данном случае, нужно доказать равенство $\angle PAD = \angle AOD$.

1. По условию задачи, точки A, O, B и P лежат на одной окружности. Это означает, что четырехугольник AOBP является вписанным в окружность. Согласно свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$.

2. ABCD — это параллелограмм, а O — точка пересечения его диагоналей AC и BD. Точки B, O, D лежат на одной прямой (диагонали BD). Из этого следует, что углы $\angle AOB$ и $\angle AOD$ являются смежными, а значит, их сумма равна $180^\circ$. То есть, $\angle AOB + \angle AOD = 180^\circ$.

3. Сравним выражения, полученные в пунктах 1 и 2:
$\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$
$\angle AOD + \angle AOB = 180^\circ$
Из этих равенств следует, что $\angle APB = \angle AOD$.

4. Поскольку ABCD — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $AD \parallel BC$. Точка P по условию лежит на прямой BC, следовательно, прямая, содержащая отрезок PC, параллельна прямой AD ($AD \parallel PC$). Прямая AP является секущей для этих параллельных прямых. По свойству параллельных прямых и секущей, накрест лежащие углы равны: $\angle PAD = \angle APC$.

5. Так как точки P, B, C лежат на одной прямой, угол $\angle APC$ является тем же углом, что и $\angle APB$. Таким образом, можно утверждать, что $\angle PAD = \angle APB$.

6. Объединяя результаты, полученные в пункте 3 ($\angle APB = \angle AOD$) и в пункте 5 ($\angle PAD = \angle APB$), мы приходим к выводу, что $\angle PAD = \angle AOD$.

Мы доказали, что угол между прямой AP и хордой AD ($\angle PAD$) равен углу, опирающемуся на эту хорду из точки O, лежащей на окружности, проходящей через точки A, O, D. Согласно теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, это означает, что прямая AP является касательной к данной окружности в точке A.

Ответ: Доказано, что прямая AP касается окружности, проходящей через точки A, O и D.