Номер 9.25, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.25. В треугольнике $ABC$ $\angle BAC = 30^{\circ}$, $\angle ABC = 80^{\circ}$. В треугольнике отметили такую точку $K$, что треугольник $BCK$ равносторонний. Найдите угол $KAB$.

9.25. В треугольнике $ABC$ $\angle BAC = 30^\circ$, $\angle ABC = 80^\circ$. В треугольнике отметили такую точку $K$, что треугольник $BCK$ равносторонний. Найдите угол $KAB$.

Для начала найдем все углы в треугольнике $ABC$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.

Дано:

• $\angle BAC = 30^\circ$
• $\angle ABC = 80^\circ$

Тогда третий угол, $\angle BCA$, равен:

$\angle BCA = 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC = 180^\circ - 30^\circ - 80^\circ = 70^\circ$.

По условию, треугольник $BCK$ — равносторонний. Это означает, что все его стороны равны ($BC = CK = KB$) и все его углы равны $60^\circ$ ($\angle KBC = \angle BCK = \angle CKB = 60^\circ$).

Поскольку точка $K$ находится внутри треугольника $ABC$, мы можем найти углы $\angle ABK$ и $\angle ACK$, вычитая углы треугольника $BCK$ из углов треугольника $ABC$:

$\angle ABK = \angle ABC - \angle KBC = 80^\circ - 60^\circ = 20^\circ$.

$\angle ACK = \angle BCA - \angle BCK = 70^\circ - 60^\circ = 10^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABK$. Мы знаем угол $\angle ABK = 20^\circ$ и сторону $BK = BC$. Чтобы найти искомый угол $\angle KAB$, докажем, что треугольник $ABK$ является равнобедренным со сторонами $AK = BK$. Для этого нам нужно показать, что $AK = BC$.

Применим теорему синусов к треугольнику $ABC$, чтобы выразить сторону $AC$ через $BC$:

$\frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)}$

$AC = BC \cdot \frac{\sin(80^\circ)}{\sin(30^\circ)}$

Так как $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:

$AC = BC \cdot \frac{\sin(80^\circ)}{1/2} = 2BC\sin(80^\circ)$.

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику $ACK$, чтобы найти длину стороны $AK$. Мы знаем длины сторон $CK = BC$, $AC = 2BC\sin(80^\circ)$ и угол между ними $\angle ACK = 10^\circ$.

$AK^2 = CK^2 + AC^2 - 2 \cdot CK \cdot AC \cdot \cos(\angle ACK)$

$AK^2 = BC^2 + (2BC\sin(80^\circ))^2 - 2 \cdot BC \cdot (2BC\sin(80^\circ)) \cdot \cos(10^\circ)$

$AK^2 = BC^2 + 4BC^2\sin^2(80^\circ) - 4BC^2\sin(80^\circ)\cos(10^\circ)$

Используем тригонометрическое тождество приведения $\sin(80^\circ) = \sin(90^\circ - 10^\circ) = \cos(10^\circ)$. Подставим это в уравнение:

$AK^2 = BC^2 + 4BC^2\cos^2(10^\circ) - 4BC^2\cos(10^\circ)\cos(10^\circ)$

$AK^2 = BC^2 + 4BC^2\cos^2(10^\circ) - 4BC^2\cos^2(10^\circ)$

$AK^2 = BC^2$

Отсюда следует, что $AK = BC$.

Мы знаем, что $BK = BC$ (из равностороннего треугольника $BCK$), и мы доказали, что $AK = BC$. Следовательно, $AK = BK$.

Это означает, что треугольник $ABK$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Углы при основании $AB$ — это $\angle KAB$ и $\angle ABK$.

$\angle KAB = \angle ABK$

Мы ранее вычислили, что $\angle ABK = 20^\circ$.

Таким образом, $\angle KAB = 20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$.