Номер 9.19, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.19. Серединный перпендикуляр биссектрисы $AD$ треугольника $ABC$ пересекает луч $BC$ в точке $N$ (рис. 9.16). Докажите, что прямая $NA$ — касательная к окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Рис. 9.16

9.19. Серединный перпендикуляр биссектрисы AD треугольника ABC пересекает луч BC в точке N (рис. 9.16). Докажите, что прямая NA — касательная к окружности, описанной около треугольника ABC.

Рис. 9.16

Для доказательства того, что прямая $NA$ является касательной к окружности, описанной около треугольника $ABC$, воспользуемся утверждением, обратным теореме об угле между касательной и хордой. Для этого достаточно доказать, что угол между прямой $NA$ и хордой $AC$ равен вписанному углу $\angle ABC$, опирающемуся на эту хорду. То есть, необходимо доказать равенство $\angle NAC = \angle ABC$.

По условию задачи, точка $N$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $AD$. По свойству серединного перпендикуляра, любая его точка равноудалена от концов отрезка. Следовательно, длины отрезков $NA$ и $ND$ равны: $NA = ND$.

Рассмотрим треугольник $NAD$. Так как две его стороны равны ($NA = ND$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AD$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle NAD = \angle NDA$.

Точка $N$ лежит на луче $BC$, а точка $D$ — на отрезке $BC$. Это означает, что угол $\angle NDA$ совпадает с углом $\angle ADC$. Угол $\angle ADC$ является внешним для треугольника $ABD$. По теореме о внешнем угле треугольника, его величина равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

$\angle ADC = \angle ABC + \angle BAD$

Так как $AD$ — биссектриса угла $\angle BAC$, то $\angle BAD = \angle CAD$. Обозначим $\angle BAD = \angle CAD = \alpha$ и $\angle ABC = \beta$.

Используя эти обозначения, получаем: $\angle NDA = \angle ADC = \beta + \alpha$.

Поскольку $\angle NAD = \angle NDA$, то и $\angle NAD = \beta + \alpha$.

Угол $\angle NAD$ также можно представить как сумму углов $\angle NAC$ и $\angle CAD$ (поскольку луч $AC$ проходит между лучами $AN$ и $AD$). Отсюда:

$\angle NAC = \angle NAD - \angle CAD$

Подставляя известные нам выражения для углов, получаем:

$\angle NAC = (\beta + \alpha) - \alpha = \beta$

Таким образом, мы доказали, что $\angle NAC = \beta = \angle ABC$.

Поскольку угол между прямой $NA$ и хордой $AC$ равен вписанному углу $\angle ABC$, опирающемуся на эту хорду, то по теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая $NA$ является касательной к окружности, описанной около треугольника $ABC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.