Номер 9.20, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.20. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AM$. Через точки $A$ и $M$ проведена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что если $KL \parallel CB$, то прямая $BC$ — касательная к окружности.

9.20. В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AM$. Через точки $A$ и $M$ проведена окружность, пересекающая стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что если $KL \parallel CB$, то прямая $BC$ — касательная к окружности.

Для доказательства того, что прямая $BC$ является касательной к окружности в точке $M$, воспользуемся теоремой, обратной теореме об угле между касательной и хордой. Докажем, что угол между прямой $BC$ и хордой $ML$ (угол $\angle LMC$) равен вписанному углу, который опирается на эту хорду в другом сегменте окружности (угол $\angle LAM$).

Поскольку $AM$ — биссектриса угла $\angle BAC$ по условию, то $\angle LAM = \angle KAM$.

Точки $A, L, M, K$ лежат на одной окружности, следовательно, четырехугольник $ALMK$ — вписанный. По свойству вписанных углов, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle KLM$ и $\angle KAM$ опираются на дугу $KM$. Следовательно, $\angle KLM = \angle KAM$.

Из двух предыдущих утверждений следует, что $\angle KLM = \angle LAM$.

По условию задачи, прямая $KL$ параллельна прямой $BC$ ($KL \parallel BC$). Рассмотрим прямую $LM$ как секущую к этим параллельным прямым. Углы $\angle LMC$ и $\angle KLM$ являются внутренними накрест лежащими, а значит, они равны: $\angle LMC = \angle KLM$.

Сопоставляя полученные равенства, имеем: $\angle LMC = \angle KLM$ и $\angle KLM = \angle LAM$. Отсюда следует, что $\angle LMC = \angle LAM$.

Таким образом, мы доказали, что угол между прямой $BC$ и хордой $LM$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. По теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, прямая $BC$ является касательной к данной окружности в точке $M$.

Ответ: Утверждение доказано.