Номер 9.18, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.18. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$.

Окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $O$, касается прямой $AC$ в точке $A$. Докажите, что $AB = AC$.

9.18. Около треугольника $ABC$ описана окружность с центром $O$.

Окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $O$, касается прямой $AC$ в точке $A$. Докажите, что $AB = AC$.

Пусть $\omega_1$ — окружность, описанная около треугольника $ABC$ с центром в точке $O$.Пусть $\omega_2$ — окружность, проходящая через точки $A$, $B$ и $O$.По условию, прямая $AC$ является касательной к окружности $\omega_2$ в точке $A$.

Рассмотрим окружность $\omega_2$ и касательную к ней $AC$. По теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $AC$ и хордой $AO$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду. Хорда $AO$ стягивает дугу $AO$, на которой лежит точка $B$. Следовательно, угол $\angle OAC$ равен вписанному углу $\angle ABO$.$$ \angle OAC = \angle ABO $$

Точка $O$ является центром окружности $\omega_1$, описанной около треугольника $ABC$. Это означает, что отрезки $OA$, $OB$ и $OC$ являются радиусами этой окружности, то есть $OA = OB = OC$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как $OA = OB$, этот треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:$$ \angle OAB = \angle OBA $$Поскольку $\angle OBA$ и $\angle ABO$ — это один и тот же угол, получаем:$$ \angle OAB = \angle ABO $$

Из полученных равенств $\angle OAC = \angle ABO$ и $\angle OAB = \angle ABO$ следует, что:$$ \angle OAC = \angle OAB $$

Теперь сравним углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ треугольника $ABC$.Рассмотрим треугольник $AOC$. Так как $OA = OC$, он является равнобедренным, и углы при основании равны:$$ \angle OCA = \angle OAC $$Рассмотрим треугольник $BOC$. Так как $OB = OC$, он является равнобедренным, и углы при основании равны:$$ \angle OCB = \angle OBC $$

Используя ранее доказанные равенства, мы можем выразить углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ через их составляющие (этот метод работает вне зависимости от расположения точки $O$ относительно треугольника $ABC$, если правильно учитывать сложение или вычитание углов, но результат будет одинаковым).Из $\angle OAC = \angle OAB$ и $\angle OAB = \angle ABO$ следует, что $\angle OAC = \angle ABO$.Из $\angle OCA = \angle OAC$ следует, что $\angle OCA = \angle ABO$.

Рассмотрим углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ как углы, вписанные в окружность $\omega_1$.Угол $\angle ABC$ опирается на дугу $AC$. Соответствующий ему центральный угол — это $\angle AOC$. По теореме о центральном и вписанном угле, $\angle AOC = 2 \cdot \angle ABC$.В равнобедренном треугольнике $AOC$ углы при основании равны $\angle OAC = \angle OCA$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOC = 180^\circ - 2 \cdot \angle OAC$.Следовательно, $2 \cdot \angle ABC = 180^\circ - 2 \cdot \angle OAC$, откуда $\angle ABC = 90^\circ - \angle OAC$.

Аналогично, угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Соответствующий ему центральный угол — это $\angle AOB$. По теореме о центральном и вписанном угле, $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB$.В равнобедренном треугольнике $AOB$ углы при основании равны $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOB = 180^\circ - 2 \cdot \angle OAB$.Следовательно, $2 \cdot \angle ACB = 180^\circ - 2 \cdot \angle OAB$, откуда $\angle ACB = 90^\circ - \angle OAB$.

Мы ранее доказали, что $\angle OAC = \angle OAB$. Подставив это в выражения для углов $\angle ABC$ и $\angle ACB$, получаем:$$ \angle ABC = 90^\circ - \angle OAC $$$$ \angle ACB = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \angle OAC $$Отсюда следует, что $\angle ABC = \angle ACB$.

В треугольнике $ABC$ углы $\angle ABC$ и $\angle ACB$ равны. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны между собой. Напротив угла $\angle ACB$ лежит сторона $AB$, а напротив угла $\angle ABC$ лежит сторона $AC$.Следовательно, $AB = AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AB=AC$ доказано.