Номер 9.12, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.12. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D. Касательные к этим окружностям, проведённые через точки C и D, пересекаются в точке P (рис. 9.13). Найдите угол P, если $\angle DAC = \alpha$.

Рис. 9.13

9.12. Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D. Касательные к этим окружностям, проведённые через точки C и D, пересекаются в точке P (рис. 9.13). Найдите угол P, если $ \angle DAC = \alpha $.

Рис. 9.13

Рассмотрим первую окружность, проходящую через точки A, B, C. Прямая PC является касательной к этой окружности в точке C, а BC — хорда, проведенная из точки касания. Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол $\angle PCB$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу BC. Таким образом, $\angle PCB = \angle CAB$.

Аналогично, рассмотрим вторую окружность, проходящую через точки A, B, D. Прямая PD является касательной к этой окружности в точке D, а BD — хорда. По той же теореме, угол $\angle PDB$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу BD. Таким образом, $\angle PDB = \angle DAB$.

Теперь рассмотрим треугольник PCD. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому:

$\angle P + \angle PCD + \angle PDC = 180^\circ$

Поскольку точки C, B и D лежат на одной прямой, угол $\angle PCD$ совпадает с углом $\angle PCB$, а угол $\angle PDC$ совпадает с углом $\angle PDB$. Подставим в уравнение суммы углов треугольника равенства, полученные из теоремы о касательной и хорде:

$\angle P + \angle CAB + \angle DAB = 180^\circ$

Из рисунка видно, что сумма углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$ составляет угол $\angle DAC$.

$\angle CAB + \angle DAB = \angle DAC$

По условию задачи, $\angle DAC = \alpha$. Подставив это значение в наше уравнение, получаем:

$\angle P + \alpha = 180^\circ$

Отсюда выражаем искомый угол P:

$\angle P = 180^\circ - \alpha$

Ответ: $180^\circ - \alpha$