Номер 9.10, страница 70 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.10. Прямая касается двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ в точках $C$ и $D$ соответственно (рис. 9.12), $A$ и $B$ — точки пересечения окружностей. Найдите угол $O_1AO_2$, если $\angle CAD = \alpha$.

Рис. 9.12

9.10. Прямая касается двух окружностей с центрами $O_1$ и $O_2$ в точках C и D соответственно (рис. 9.12). А и В $-$ точки пересечения окружностей. Найдите угол $O_1AO_2$, если $\angle CAD = \alpha$.

Рис. 9.12

Рассмотрим окружность с центром в точке $O_1$. Так как $O_1C$ — это радиус, проведенный к точке касания $C$, то $O_1C$ перпендикулярен касательной $CD$, следовательно, $\angle O_1CD = 90^\circ$. Треугольник $O_1AC$ является равнобедренным, поскольку $O_1A$ и $O_1C$ — радиусы одной и той же окружности. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle O_1AC = \angle O_1CA$.

Аналогично, для окружности с центром в точке $O_2$: радиус $O_2D$ перпендикулярен касательной $CD$, то есть $\angle O_2DC = 90^\circ$. Треугольник $O_2AD$ — равнобедренный ($O_2A = O_2D$), поэтому $\angle O_2AD = \angle O_2DA$.

Введем обозначения: пусть $\angle O_1AC = \beta$ и $\angle O_2AD = \gamma$. Тогда из равнобедренных треугольников следует, что $\angle O_1CA = \beta$ и $\angle O_2DA = \gamma$.

Теперь выразим углы $\angle ACD$ и $\angle ADC$ через $\beta$ и $\gamma$:
$\angle ACD = \angle O_1CD - \angle O_1CA = 90^\circ - \beta$.
$\angle ADC = \angle O_2DC - \angle O_2DA = 90^\circ - \gamma$.

Рассмотрим сумму углов в треугольнике $ACD$:
$\angle CAD + \angle ACD + \angle ADC = 180^\circ$.

Подставим в это равенство известные нам величины:
$\alpha + (90^\circ - \beta) + (90^\circ - \gamma) = 180^\circ$.
$180^\circ + \alpha - \beta - \gamma = 180^\circ$.
Отсюда получаем важное соотношение: $\alpha = \beta + \gamma$.

Теперь найдем искомый угол $\angle O_1AO_2$. Для этого рассмотрим взаимное расположение лучей $AO_1$, $AC$, $AD$ и $AO_2$, выходящих из точки $A$. Из геометрического расположения центра окружности, хорды и касательной следует, что центры $O_1$ и $O_2$ лежат "снаружи" угла $\angle CAD$.

Будем отсчитывать углы от луча $AC$ против часовой стрелки. Примем направление луча $AC$ за $0^\circ$.
Тогда луч $AD$ образует с лучом $AC$ угол $\alpha$.
Луч $AO_1$ образует с лучом $AC$ угол $\beta$, но, как видно из рисунка, он повернут в противоположном направлении (по часовой стрелке). Поэтому его угловая координата будет $-\beta$.
Луч $AO_2$ образует с лучом $AD$ угол $\gamma$ (против часовой стрелки). Его угловая координата относительно луча $AC$ будет равна сумме углов $\angle CAD$ и $\angle DAO_2$, то есть $\alpha + \gamma$.

Угол $\angle O_1AO_2$ равен разности угловых координат лучей $AO_2$ и $AO_1$:
$\angle O_1AO_2 = (\alpha + \gamma) - (-\beta) = \alpha + \beta + \gamma$.

Используя ранее найденное соотношение $\alpha = \beta + \gamma$, подставим его в выражение для искомого угла:
$\angle O_1AO_2 = \alpha + (\beta + \gamma) = \alpha + \alpha = 2\alpha$.

Ответ: $2\alpha$.