Номер 9.16, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.16. В окружности проведена хорда. На меньшей из образовавшихся дуг отметили точку и через неё провели касательную к окружности. Найдите на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.

9.16. В окружности проведена хорда. На меньшей из образовавшихся дуг отметили точку и через неё провели касательную к окружности. Найдите на касательной точку, из которой хорда видна под наибольшим углом.

Пусть дана окружность $\omega$, хорда $AB$ в ней, точка $C$ на меньшей дуге $AB$ и касательная $l$, проходящая через точку $C$. Нам необходимо найти на прямой $l$ такую точку $M$, чтобы угол $\angle AMB$ был максимальным.

Геометрическое место точек, из которых отрезок $AB$ виден под постоянным углом $\alpha$, представляет собой две дуги окружностей, проходящих через точки $A$ и $B$. Чтобы угол обзора был больше, точка наблюдения должна находиться на дуге окружности с меньшим радиусом.

Рассмотрим точку $C$ на касательной $l$. Так как $C$ лежит на исходной окружности $\omega$, проходящей через $A$ и $B$, то из точки $C$ хорда $AB$ видна под углом $\angle ACB$.

Теперь рассмотрим любую другую точку $M$ на касательной $l$ ($M \neq C$). Поскольку $l$ является касательной к окружности $\omega$ в точке $C$, любая другая точка $M$ на прямой $l$ лежит вне окружности $\omega$.

Докажем, что для любой точки $M$, лежащей вне окружности $\omega$, угол $\angle AMB$ будет меньше угла $\angle ACB$.

1. Пусть точка $M$ находится вне окружности $\omega$. Проведём отрезок $MA$. Так как $M$ — внешняя точка, отрезок $MA$ пересечёт окружность в некоторой точке $P$, лежащей между $M$ и $A$.
2. Рассмотрим треугольник $\triangle PBM$. Угол $\angle APB$ является внешним углом для этого треугольника. Следовательно, он равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним: $\angle APB = \angle PMB + \angle PBM$.
3. Поскольку $M$, $P$, $A$ лежат на одной прямой, $\angle PMB = \angle AMB$. Таким образом, $\angle APB = \angle AMB + \angle PBM$.
4. Так как $B$, $P$, $M$ не лежат на одной прямой (в общем случае), то угол $\angle PBM > 0$. Из этого следует, что $\angle APB > \angle AMB$.
5. Точки $P$ и $C$ лежат на одной и той же дуге $AB$ окружности $\omega$. Углы, вписанные в окружность и опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следовательно, $\angle APB = \angle ACB$.
6. Объединяя результаты, получаем: $\angle ACB = \angle APB > \angle AMB$.

Таким образом, для любой точки $M$ на касательной $l$, отличной от $C$, угол, под которым видна хорда $AB$, будет строго меньше, чем угол из точки $C$. Следовательно, наибольший угол достигается именно в точке $C$.

Ответ: Искомая точка — это точка касания.