Номер 9.22, страница 71 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.22. Дан квадрат $ABCD$. Вне квадрата отметили точку $E$ так, что $\angle BAE = 30^\circ$, $\angle BCE = 75^\circ$. Найдите угол $CBE$.

9.22. Дан квадрат $ABCD$. Вне квадрата отметили точку $E$ так, что $\angle BAE = 30^\circ$, $\angle BCE = 75^\circ$. Найдите угол $CBE$.

Пусть сторона квадрата $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$. Углы квадрата равны $90^\circ$.

Предположим, что искомый угол $\angle CBE = 30^\circ$. Рассмотрим треугольник $CBE$. Нам известны два его угла: $\angle BCE = 75^\circ$ (по условию) и $\angle CBE = 30^\circ$ (наше предположение). Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому мы можем найти третий угол, $\angle BEC$:

$\angle BEC = 180^\circ - \angle BCE - \angle CBE = 180^\circ - 75^\circ - 30^\circ = 75^\circ$.

Поскольку в треугольнике $CBE$ два угла равны ($\angle BCE = \angle BEC = 75^\circ$), он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. Следовательно, $BE = BC$.

Так как $ABCD$ — квадрат, то $BC = AB$. Из равенств $BE = BC$ и $BC = AB$ следует, что $BE = AB$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Мы установили, что $BE = AB$, значит, он также является равнобедренным.

Найдем угол $\angle ABE$. Поскольку точка $E$ находится вне квадрата, и углы $\angle BAE$ и $\angle BCE$ заданы, точка $E$ расположена таким образом, что угол $\angle ABE$ является внешним по отношению к углу $\angle ABC$. Таким образом, $\angle ABE$ равен сумме углов $\angle ABC$ и $\angle CBE$.

$\angle ABE = \angle ABC + \angle CBE = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $ABE$ с основанием $AE$ углы при основании равны:

$\angle BAE = \angle BEA = \frac{180^\circ - \angle ABE}{2} = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Мы получили, что $\angle BAE = 30^\circ$, что в точности совпадает с условием задачи. Это подтверждает, что наше первоначальное предположение было верным.

Решение:

1. Предположим, что $\angle CBE = 30^\circ$.

2. В $\triangle CBE$: $\angle BEC = 180^\circ - 75^\circ - 30^\circ = 75^\circ$. Так как $\angle BCE = \angle BEC$, то $\triangle CBE$ — равнобедренный и $BE = BC$.

3. Так как $ABCD$ — квадрат, $BC = AB$. Следовательно, $BE = AB$, и $\triangle ABE$ также равнобедренный.

4. Угол $\angle ABE = \angle ABC + \angle CBE = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$.

5. В равнобедренном $\triangle ABE$ углы при основании равны: $\angle BAE = \angle BEA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

6. Полученное значение $\angle BAE = 30^\circ$ совпадает с условием задачи. Следовательно, предположение верно.

Ответ: $30^\circ$.