Номер 9.24, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.24. Даны равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = AC$) и точка $M$, ему не принадлежащая, но принадлежащая углу $ABC$. Найдите угол $BAM$, если $\angle ABC = 50^\circ$, $\angle BMC = 40^\circ$, $\angle BMA = 10^\circ$.

9.24. Даны равнобедренный треугольник $ABC$ ($AB = AC$) и точка $M$, ему не принадлежащая, но принадлежащая углу $ABC$. Найдите угол $BAM$, если $\angle ABC = 50^\circ$, $\angle BMC = 40^\circ$, $\angle BMA = 10^\circ$.

Найдем углы треугольника $ABC$. Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB = AC$, углы при основании равны: $\angle ACB = \angle ABC = 50^\circ$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, следовательно, угол при вершине $\angle BAC$ равен:
$\angle BAC = 180^\circ - (50^\circ + 50^\circ) = 80^\circ$.

Сравним вычисленный угол $\angle BAC$ с данным углом $\angle BMC$. Мы видим, что $\angle BAC = 80^\circ$, а $\angle BMC = 40^\circ$. Таким образом, выполняется соотношение $\angle BAC = 2 \cdot \angle BMC$.

Это соотношение является свойством центрального и вписанного углов окружности, опирающихся на одну и ту же дугу. Рассмотрим окружность с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине стороны $AB$. Так как $AB = AC$, эта окружность также проходит через точку $C$. В этой окружности $\angle BAC$ является центральным углом, опирающимся на хорду $BC$.

По условию, точка $M$ принадлежит углу $ABC$, но не принадлежит треугольнику $ABC$. Это означает, что точки $A$ и $M$ расположены по одну сторону от прямой $BC$. Вписанный угол, вершина которого лежит на окружности по ту же сторону от хорды, что и центр, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду. Так как $\angle BMC = 40^\circ = \frac{1}{2} \cdot 80^\circ = \frac{1}{2} \angle BAC$, точка $M$ лежит на построенной нами окружности.

Поскольку $M$ лежит на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AB$, то отрезок $AM$ также является радиусом, и, следовательно, $AM = AB$. Это означает, что треугольник $ABM$ является равнобедренным с основанием $BM$.

В равнобедренном треугольнике $ABM$ углы при основании равны: $\angle ABM = \angle BMA$. По условию $\angle BMA = 10^\circ$, значит, $\angle ABM = 10^\circ$.

Наконец, найдем искомый угол $\angle BAM$, зная, что сумма углов в треугольнике $ABM$ равна $180^\circ$:
$\angle BAM + \angle ABM + \angle BMA = 180^\circ$
$\angle BAM + 10^\circ + 10^\circ = 180^\circ$
$\angle BAM = 180^\circ - 20^\circ = 160^\circ$.

Ответ: $160^\circ$.