Номер 9.30, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.30. В четырёхугольнике три тупых угла. Докажите, что большей из двух его диагоналей является та, которая проведена из вершины острого угла.

9.30. В четырёхугольнике три тупых угла. Докажите, что большей из двух его диагоналей является та, которая проведена из вершины острого угла.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$. По условию, три его угла являются тупыми. Сумма углов четырёхугольника равна $360°$. Если три угла больше $90°$, то их сумма больше $3*90° = 270°$. Тогда на четвёртый угол остаётся меньше $360° - 270° = 90°$. Следовательно, в таком четырёхугольнике ровно три тупых угла и один острый.

Пусть углы при вершинах $B, C, D$ — тупые ($∠B > 90°, ∠C > 90°, ∠D > 90°$), а угол при вершине $A$ — острый ($∠A < 90°$).

Диагональ, проведённая из вершины острого угла, — это $AC$. Другая диагональ — $BD$. Нам нужно доказать, что $AC > BD$.

Для доказательства воспользуемся известным геометрическим фактом: геометрическое место точек, из которых данный отрезок виден под тупым углом, есть внутренность круга, построенного на этом отрезке как на диаметре (без точек самого диаметра). Аналогично, из точек вне этого круга отрезок виден под острым углом.

Рассмотрим диагональ $AC$ как отрезок.

1. Поскольку угол $∠B$ тупой, вершина $B$ лежит внутри круга, построенного на диагонали $AC$ как на диаметре.
2. Поскольку угол $∠D$ тупой, вершина $D$ также лежит внутри круга, построенного на диагонали $AC$ как на диаметре.

Пусть $O$ — середина диагонали $AC$. Тогда $O$ является центром этого круга, а его радиус $R$ равен половине длины $AC$, то есть $R = AC/2$.

Так как точки $B$ и $D$ лежат внутри этого круга, расстояния от них до центра $O$ меньше радиуса:$BO < R = AC/2$$DO < R = AC/2$

Теперь рассмотрим треугольник $BOD$. По неравенству треугольника, длина стороны $BD$ не может превышать сумму длин двух других сторон $BO$ и $DO$:$BD ≤ BO + DO$

Подставим в это неравенство полученные выше соотношения:$BD < AC/2 + AC/2$$BD < AC$

Таким образом, мы доказали, что диагональ $AC$, проведённая из вершины острого угла $A$, больше диагонали $BD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что большей из двух диагоналей является та, которая проведена из вершины острого угла.