Номер 10.3, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.3. В прямоугольнике ABCD $AB = 12$ см, $\angle CAD = 30^{\circ}$. Найдите радиус окружности, описанной около данного прямоугольника.

10.3. В прямоугольнике $ABCD$ $AB = 12$ см, $\angle CAD = 30^\circ$. Найдите радиус окружности, описанной около данного прямоугольника.

Центр окружности, описанной около прямоугольника, является точкой пересечения его диагоналей, а её диаметр равен диагонали прямоугольника. Радиус $R$ описанной окружности равен половине диагонали. Чтобы найти радиус, нам необходимо найти длину диагонали, например, $AC$.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, угол $\angle D = 90^\circ$, следовательно, треугольник $ACD$ — прямоугольный. Противоположные стороны прямоугольника равны, поэтому $CD = AB = 12$ см.

В прямоугольном треугольнике $ACD$ нам известны катет $CD = 12$ см и противолежащий ему угол $\angle CAD = 30^\circ$. Диагональ $AC$ является гипотенузой этого треугольника.

Существует два способа найти гипотенузу:

1. Используя свойство угла в 30 градусов. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет $CD$ лежит напротив угла $\angle CAD = 30^\circ$.
Следовательно, $CD = \frac{1}{2}AC$.
Отсюда $AC = 2 \cdot CD = 2 \cdot 12 = 24$ см.

2. Используя тригонометрические функции. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$sin(\angle CAD) = \frac{CD}{AC}$
Подставим известные значения:
$sin(30^\circ) = \frac{12}{AC}$
Так как $sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$, получаем:
$\frac{1}{2} = \frac{12}{AC}$
Отсюда $AC = 12 \cdot 2 = 24$ см.

Итак, длина диагонали прямоугольника равна 24 см. Радиус описанной окружности равен половине диагонали:

$R = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$ см.

Ответ: 12 см.