Номер 9.32, страница 72 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

9.32. В окружности проведена хорда $AB$. Вторая окружность касается этой хорды в точке $M$ и первой окружности в точке $K$ (рис. 9.19). Докажите, что $KM$ — биссектриса угла $\angle AKB$.

Рис. 9.19

9.32. В окружности проведена хорда $AB$. Вторая окружность касается этой хорды в точке $M$ и первой окружности в точке $K$ (рис. 9.19).

Докажите, что $KM$ — биссектриса угла $AKB$.

Рис. 9.19

Для доказательства того, что $KM$ является биссектрисой угла $AKB$, мы воспользуемся свойством гомотетии (центрального подобия), а также свойствами углов и дуг в окружности.

Доказательство:

1. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $K$, которая переводит меньшую окружность в большую. Такая гомотетия существует, поскольку окружности касаются в точке $K$.

2. При этой гомотетии образом касательной к меньшей окружности является касательная к большей окружности. Хорда $AB$ является касательной к меньшей окружности в точке $M$. Следовательно, ее образом будет прямая $l$, которая касается большей окружности в некоторой точке $P$ и параллельна хорде $AB$.

3. По определению гомотетии, центр гомотетии $K$, точка $M$ и ее образ $P$ лежат на одной прямой. Таким образом, точки $K$, $M$ и $P$ коллинеарны.

4. В большой окружности мы имеем хорду $AB$ и параллельную ей касательную $l$ (с точкой касания $P$). По свойству окружности, дуги, заключенные между параллельными хордой и касательной, равны. То есть, дуга $AP$ равна дуге $BP$.

5. Вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны. Угол $\angle AKP$ является вписанным и опирается на дугу $AP$. Угол $\angle BKP$ является вписанным и опирается на дугу $BP$. Так как дуги равны, то и углы, опирающиеся на них, равны:

$\angle AKP = \angle BKP$

6. Поскольку точки $K$, $M$ и $P$ лежат на одной прямой, луч $KP$ совпадает с лучом $KM$. Следовательно, равенство $\angle AKP = \angle BKP$ равносильно равенству:

$\angle AKM = \angle BKM$

7. Это по определению означает, что луч $KM$ является биссектрисой угла $\angle AKB$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.