Номер 10.1, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.1. Докажите, что можно описать окружность около:

1) любого прямоугольника;

2) любой равнобокой трапеции.

10.1. Докажите, что можно описать окружность около:

1) любого прямоугольника;

2) любой равнобокой трапеции.

1) Для доказательства используем свойство вписанного четырехугольника: окружность можно описать около четырехугольника тогда и только тогда, когда сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$. Пусть $ABCD$ — произвольный прямоугольник. По определению, все его углы прямые: $∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90^\circ$. Проверим суммы противолежащих углов: $∠A + ∠C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$ и $∠B + ∠D = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Так как суммы противолежащих углов равны $180^\circ$, то около любого прямоугольника можно описать окружность, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

2) Аналогично первому пункту, докажем, что сумма противолежащих углов равнобокой трапеции равна $180^\circ$. Пусть $ABCD$ — произвольная равнобокая трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ ($AD \parallel BC$). По свойству равнобокой трапеции, углы при основании равны: $∠A = ∠D$ и $∠B = ∠C$. Также, поскольку $AD \parallel BC$, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$ (как внутренние односторонние углы). Таким образом, $∠A + ∠B = 180^\circ$. Теперь рассмотрим сумму противолежащих углов $∠B$ и $∠D$. Заменив в равенстве $∠A + ∠B = 180^\circ$ угол $∠A$ на равный ему угол $∠D$, получим $∠D + ∠B = 180^\circ$. Сумма другой пары противолежащих углов $∠A + ∠C$ также будет равна $180^\circ$, так как $∠B=∠C$. Поскольку сумма противолежащих углов равна $180^\circ$, около любой равнобокой трапеции можно описать окружность.

Ответ: Доказано, что около любой равнобокой трапеции можно описать окружность.