Номер 10.7, страница 78 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.7. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $56^\circ$. Найдите углы трапеции.

10.7. Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из оснований. Угол между диагоналями трапеции, противолежащий её боковой стороне, равен $56^\circ$. Найдите углы трапеции.

Пусть дана равнобокая трапеция $ABCD$, вписанная в окружность. Основания трапеции — $AD$ и $BC$, причём $AD$ является большим основанием. По условию, центр окружности $O$ принадлежит одному из оснований. Это может быть только большее основание, так как иначе меньшее основание было бы диаметром, а большее находилось бы вне окружности. Следовательно, $AD$ — диаметр окружности.

Так как $AD$ — диаметр, то вписанные углы, опирающиеся на этот диаметр, являются прямыми. Таким образом, треугольники $ABD$ и $ACD$ — прямоугольные, с прямыми углами при вершинах $B$ и $C$ соответственно. То есть, $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle ACD = 90^\circ$.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$. Угол между диагоналями, противолежащий боковой стороне $CD$, по условию равен $56^\circ$. Это означает, что $\angle CED = 56^\circ$.

Рассмотрим треугольник $ADE$. Угол $\angle AED$ является смежным с углом $\angle CED$, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$\angle AED = 180^\circ - \angle CED = 180^\circ - 56^\circ = 124^\circ$.

В равнобокой трапеции диагонали равны ($AC = BD$). Треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle DBA$ равны по катету и гипотенузе ($CD=AB$, $AD$ — общая гипотенуза). Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle CAD = \angle BDA$.

Углы $\angle CAD$ и $\angle BDA$ являются углами при основании треугольника $ADE$. Так как эти углы равны, треугольник $ADE$ является равнобедренным ($AE = DE$). Сумма углов в треугольнике $ADE$ равна $180^\circ$. Найдем углы при основании $AD$:$\angle DAE + \angle ADE + \angle AED = 180^\circ$$\angle CAD + \angle BDA + 124^\circ = 180^\circ$$2 \cdot \angle CAD = 180^\circ - 124^\circ$$2 \cdot \angle CAD = 56^\circ$$\angle CAD = 28^\circ$.Следовательно, $\angle BDA = 28^\circ$.

Теперь мы можем найти углы трапеции. Углы при большем основании $AD$ равны: $\angle DAB = \angle CDA$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$ ($\angle ACD = 90^\circ$). Сумма его острых углов равна $90^\circ$:$\angle CDA + \angle CAD = 90^\circ$$\angle CDA + 28^\circ = 90^\circ$$\angle CDA = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ$.Таким образом, углы при основании $AD$ равны $62^\circ$: $\angle CDA = \angle DAB = 62^\circ$.

В любой трапеции, вписанной в окружность, сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180^\circ$. Поэтому углы при меньшем основании $BC$ также равны между собой:$\angle ABC = \angle BCD = 180^\circ - 62^\circ = 118^\circ$.

Ответ: углы трапеции равны $62^\circ$, $118^\circ$, $118^\circ$, $62^\circ$.