Номер 10.11, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.11. Из точки $M$, которая принадлежит углу $AOB$, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры $MM_1$ и $MM_2$ на прямые $OA$ и $OB$. Докажите, что $M_1M_2 \leq OM$.

10.11. Из точки $M$, которая принадлежит углу $AOB$, но не принадлежит его сторонам, опущены перпендикуляры $MM_1$ и $MM_2$ на прямые $OA$ и $OB$. Докажите, что $M_1 M_2 \le OM$.

Рассмотрим четырехугольник $OM_1MM_2$. По условию задачи, из точки $M$ опущены перпендикуляры $MM_1$ на прямую $OA$ и $MM_2$ на прямую $OB$. Следовательно, углы $\angle OM_1M$ и $\angle OM_2M$ являются прямыми:

$\angle OM_1M = 90^\circ$

$\angle OM_2M = 90^\circ$

Сумма противолежащих углов в четырехугольнике $OM_1MM_2$ равна:

$\angle OM_1M + \angle OM_2M = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$

Согласно свойству вписанного четырехугольника, если сумма противолежащих углов четырехугольника равна $180^\circ$, то вокруг него можно описать окружность. Это означает, что точки $O$, $M_1$, $M$ и $M_2$ лежат на одной окружности.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OM_1M$. Так как он вписан в указанную окружность, а его угол $\angle OM_1M$ равен $90^\circ$, то его гипотенуза $OM$ является диаметром этой окружности, поскольку вписанный прямой угол всегда опирается на диаметр.

Отрезок $M_1M_2$ соединяет две точки ($M_1$ и $M_2$), лежащие на этой же окружности. Следовательно, $M_1M_2$ является хордой данной окружности.

Известно, что длина любой хорды окружности не превышает длины ее диаметра. Таким образом, для хорды $M_1M_2$ и диаметра $OM$ справедливо неравенство:

$M_1M_2 \le OM$

Неравенство доказано.

Ответ: Доказано, что $M_1M_2 \le OM$.