Номер 10.16, страница 79 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.16. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^\circ$. Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$, точка $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Найдите угол $JMC$.

10.16. В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^\circ$. Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$, точка $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Найдите угол $JMC$.

Пусть в прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $\angle C = 90^\circ$. Согласно условию, $\angle A = 30^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Точка $M$ — середина гипотенузы $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $CM = AM = BM$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Поскольку $CM = BM$, треугольник $BMC$ является равнобедренным. Угол при его основании $\angle B$ равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним. Таким образом, треугольник $BMC$ — равносторонний, и все его стороны и углы равны: $BC = BM = CM$ и $\angle CMB = 60^\circ$.

Точка $J$ — центр вписанной окружности треугольника $ABC$. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника.Следовательно, отрезок $BJ$ является биссектрисой угла $\angle B$, а отрезок $CJ$ — биссектрисой угла $\angle C$.

Найдем углы, которые образуют биссектрисы:
$\angle JBC = \angle JBM = \frac{\angle B}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.
$\angle JCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$.

Теперь сравним треугольники $JBC$ и $JBM$.
1. Сторона $BC$ равна стороне $BM$ (так как $\triangle BMC$ равносторонний).
2. Угол $\angle JBC$ равен углу $\angle JBM$ (так как $BJ$ — биссектриса).
3. Сторона $JB$ является общей для обоих треугольников.
Таким образом, треугольники $JBC$ и $JBM$ равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Из равенства треугольников $JBC$ и $JBM$ следует равенство их соответствующих углов и сторон. В частности, $\angle JMB = \angle JCB$.Мы уже нашли, что $\angle JCB = 45^\circ$, следовательно, $\angle JMB = 45^\circ$.

Искомый угол $\angle JMC$ является частью угла $\angle CMB$. Мы можем найти его как разность углов:
$\angle JMC = \angle CMB - \angle JMB$
Подставляя известные значения, получаем:
$\angle JMC = 60^\circ - 45^\circ = 15^\circ$.

Ответ: $15^\circ$.