Номер 10.21, страница 80 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.21. В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $CC_1$ и $AA_1$ — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка $C_1A_1$ проходит через середину стороны $AC$.

10.21. В остроугольном треугольнике $ABC$ отрезки $CC_1$ и $AA_1$ — высоты. Докажите, что серединный перпендикуляр отрезка $C_1A_1$ проходит через середину стороны $AC$.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$, в котором $CC_1$ и $AA_1$ — высоты. Это означает, что $CC_1 \perp AB$ и $AA_1 \perp BC$. Следовательно, $\angle AC_1C = 90^\circ$ и $\angle AA_1C = 90^\circ$.

Рассмотрим точки $A$, $C$, $A_1$, $C_1$. Поскольку отрезок $AC$ виден из точек $A_1$ и $C_1$ под прямым углом, эти четыре точки лежат на одной окружности, для которой отрезок $AC$ является диаметром.

Пусть $M$ — середина стороны $AC$. Тогда точка $M$ является центром этой окружности.

Так как точки $A_1$ и $C_1$ лежат на этой окружности, отрезки $MA_1$ и $MC_1$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны:

$MA_1 = MC_1$

Любая точка, равноудаленная от концов отрезка, по определению лежит на его серединном перпендикуляре. Поскольку точка $M$ равноудалена от точек $A_1$ и $C_1$, она принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку $C_1A_1$.

Таким образом, мы доказали, что серединный перпендикуляр отрезка $C_1A_1$ проходит через точку $M$, которая является серединой стороны $AC$.

Ответ: Середина стороны $AC$ равноудалена от точек $A_1$ и $C_1$ ($MA_1 = MC_1$), а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $C_1A_1$, что и требовалось доказать.