Номер 10.28, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.28. В треугольнике ABC ($AC < BC$) проведена медиана CD. Известно, что $\angle DCA + \angle DBC = 90^\circ$. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

10.28. В треугольнике $ABC$ ($AC < BC$) проведена медиана $CD$. Известно, что $\angle DCA + \angle DBC = 90^\circ$. Докажите, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Доказательство:

Пусть в треугольнике $ABC$ проведенa медиана $CD$. Обозначим углы: $\angle DCA = \alpha$, $\angle DBC = \beta$, $\angle DCB = \gamma$ и $\angle CAB = A$.

По условию задачи, $CD$ — медиана, следовательно, $AD = DB$. Также дано, что $\alpha + \beta = 90^\circ$ и $AC < BC$. Требуется доказать, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольники $ADC$ и $BDC$. Применим к ним теорему синусов.

В $\triangle ADC$ имеем:

$\frac{AD}{\sin \alpha} = \frac{AC}{\sin \angle ADC}$

В $\triangle BDC$ имеем:

$\frac{DB}{\sin \gamma} = \frac{BC}{\sin \angle BDC}$

Поскольку $AD = DB$, а углы $\angle ADC$ и $\angle BDC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$, поэтому $\sin \angle ADC = \sin(180^\circ - \angle BDC) = \sin \angle BDC$.

Разделив соотношение для $\triangle ADC$ на соотношение для $\triangle BDC$, получим:

$\frac{AD/\sin \alpha}{DB/\sin \gamma} = \frac{AC/\sin \angle ADC}{BC/\sin \angle BDC}$

Учитывая, что $AD=DB$ и $\sin \angle ADC = \sin \angle BDC$, получаем:

$\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{AC}{BC}$ (1)

Теперь применим теорему синусов ко всему треугольнику $ABC$:

$\frac{AC}{\sin \beta} = \frac{BC}{\sin A}$

Отсюда выразим отношение сторон:

$\frac{AC}{BC} = \frac{\sin \beta}{\sin A}$ (2)

Приравнивая правые части выражений (1) и (2), получаем:

$\frac{\sin \gamma}{\sin \alpha} = \frac{\sin \beta}{\sin A} \implies \sin \gamma \sin A = \sin \alpha \sin \beta$

Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$:

$A + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \implies A + \beta + (\alpha + \gamma) = 180^\circ$

Используя условие $\alpha + \beta = 90^\circ$, получаем:

$A + 90^\circ + \gamma = 180^\circ \implies A = 90^\circ - \gamma$

Подставим это выражение для $A$ в равенство $\sin \gamma \sin A = \sin \alpha \sin \beta$:

$\sin \gamma \sin(90^\circ - \gamma) = \sin \alpha \sin \beta \implies \sin \gamma \cos \gamma = \sin \alpha \sin \beta$

Из условия $\alpha + \beta = 90^\circ$ следует, что $\beta = 90^\circ - \alpha$, и, следовательно, $\sin \beta = \sin(90^\circ - \alpha) = \cos \alpha$.

Подставим это в наше равенство:

$\sin \gamma \cos \gamma = \sin \alpha \cos \alpha$

Используя формулу синуса двойного угла ($ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $), умножим обе части на 2:

$2\sin \gamma \cos \gamma = 2\sin \alpha \cos \alpha \implies \sin(2\gamma) = \sin(2\alpha)$

Это равенство возможно в двух случаях (учитывая, что $\alpha$ и $\gamma$ — углы треугольника, поэтому $2\alpha$ и $2\gamma$ лежат в диапазоне от $0$ до $360^\circ$):

1) $2\gamma = 2\alpha \implies \gamma = \alpha$.

2) $2\gamma = 180^\circ - 2\alpha \implies \gamma = 90^\circ - \alpha$.

Рассмотрим первый случай. Если $\gamma = \alpha$, то из равенства (1) следует, что $\frac{AC}{BC} = \frac{\sin \alpha}{\sin \alpha} = 1$, то есть $AC = BC$. Это противоречит условию задачи $AC < BC$. Следовательно, этот случай невозможен.

Остается только второй случай: $\gamma = 90^\circ - \alpha$.

Тогда искомый угол $\angle ACB$ равен:

$\angle ACB = \alpha + \gamma = \alpha + (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$.

Таким образом, мы доказали, что $\angle ACB = 90^\circ$.

Ответ: Утверждение доказано.