Номер 10.29, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.29. Окружность с центром в точке $O$, принадлежащей стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $BH$ — высота треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle MHB = \angle BHN$.

10.29. Окружность с центром в точке $O$, принадлежащей стороне $AC$ остроугольного треугольника $ABC$, касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Отрезок $BH$ — высота треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle MHB = \angle BHN$.

Поскольку окружность с центром в точке $O$ касается сторон $AB$ и $BC$ в точках $M$ и $N$ соответственно, то радиусы $OM$ и $ON$, проведенные в точки касания, перпендикулярны этим сторонам. Таким образом, $OM \perp AB$ и $ON \perp BC$. Отсюда следует, что $\angle OMB = 90^\circ$ и $\angle ONB = 90^\circ$. Так как $OM$ и $ON$ являются радиусами одной и той же окружности, то их длины равны: $OM = ON$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OMB$ и $\triangle ONB$. У них общая гипотенуза $OB$ и равные катеты $OM = ON$. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету ($\triangle OMB \cong \triangle ONB$). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $MB = NB$.

По условию задачи, $BH$ — высота треугольника $ABC$, проведенная к стороне $AC$. Это означает, что $BH \perp AC$. Так как центр окружности, точка $O$, лежит на стороне $AC$, то $BH$ перпендикулярна отрезку $OH$ (или совпадает с ним, если $H$ и $O$ — одна и та же точка), следовательно, $\angle BHO = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OMBH$. В нем $\angle OMB = 90^\circ$ и $\angle BHO = 90^\circ$. Сумма двух углов четырехугольника равна $180^\circ$. Поскольку точки $M$ и $H$ лежат по одну сторону от прямой $OB$, это означает, что вокруг четырехугольника $OMBH$ можно описать окружность (точки $O, M, B, H$ лежат на одной окружности с диаметром $OB$).

Аналогично, в четырехугольнике $ONBH$ имеем $\angle ONB = 90^\circ$ и $\angle BHO = 90^\circ$. Сумма этих углов также равна $180^\circ$. Следовательно, четырехугольник $ONBH$ также является вписанным в окружность с диаметром $OB$.

Из этого следует, что все пять точек — $O, M, B, H, N$ — лежат на одной и той же окружности (назовем ее $\Omega$), диаметром которой является отрезок $OB$.

В окружности $\Omega$ углы $\angle MHB$ и $\angle NHB$ являются вписанными. Угол $\angle MHB$ опирается на хорду $MB$, а угол $\angle NHB$ опирается на хорду $NB$. Как было доказано ранее, длины этих хорд равны: $MB = NB$. В одной окружности равные хорды стягивают равные дуги, а на равные дуги опираются равные вписанные углы. Следовательно, $\angle MHB = \angle NHB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle MHB = \angle BHN$ доказано.