Номер 10.35, страница 81 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

10.35. Вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ скользят по сторонам прямого угла с вершиной $P$ (рис. 10.14). Докажите, что точка $C$ при этом перемещается по отрезку.

Рис. 10.14

10.35. Вершины $A$ и $B$ треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ скользят по сторонам прямого угла с вершиной $P$ (рис. 10.14). Докажите, что точка $C$ при этом перемещается по отрезку.

Рис. 10.14

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $P$. Направим оси координат вдоль сторон прямого угла, так что вершина $A$ треугольника $ABC$ скользит по оси $Oy$, а вершина $B$ — по оси $Ox$. Пусть в некоторый момент времени координаты вершин равны $A(0, a)$ и $B(b, 0)$. Координаты точки $C$ обозначим как $(x, y)$.

По условию, треугольник $ABC$ имеет прямой угол при вершине $C$, то есть $\angle ACB = 90^\circ$. Угол, образованный сторонами, по которым скользят вершины $A$ и $B$, также прямой: $\angle APB = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $PACB$. Сумма его противоположных углов $\angle APB$ и $\angle ACB$ равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означает, что четырехугольник $PACB$ можно вписать в окружность.

Для вписанного четырехугольника углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle BPC$ и $\angle BAC$ опираются на дугу $BC$. Следовательно, $\angle BPC = \angle BAC$.

Поскольку треугольник $ABC$ является жесткой фигурой (его форма и размеры не меняются), его углы постоянны. Обозначим постоянный угол $\angle BAC = \alpha$. Тогда и угол $\angle BPC$ также является постоянной величиной, равной $\alpha$.

В нашей системе координат угол $\angle BPC$ — это угол между вектором $\vec{PC}$ и положительным направлением оси $Ox$. Так как этот угол постоянен, точка $C(x,y)$ всегда лежит на луче, выходящем из начала координат (точки $P$) под углом $\alpha$ к оси $Ox$.

Теперь докажем, что траекторией движения точки $C$ является не весь луч, а лишь его отрезок. Для этого найдем расстояние $r = PC$ от точки $P$ до точки $C$ и покажем, что оно ограничено.

Длины сторон треугольника $ABC$ постоянны. Обозначим $AC = l_1$ и $BC = l_2$. Длина гипотенузы $AB = L = \sqrt{l_1^2 + l_2^2}$ также постоянна. Из прямоугольного треугольника $PAB$ имеем $PA^2 + PB^2 = AB^2$, то есть $a^2 + b^2 = L^2$.

Запишем квадраты расстояний $AC$ и $BC$ через координаты:
$AC^2 = (x - 0)^2 + (y - a)^2 = x^2 + y^2 - 2ay + a^2 = l_1^2$
$BC^2 = (x - b)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2bx + b^2 + y^2 = l_2^2$

Сложим эти два равенства:
$(x^2 + y^2 - 2ay + a^2) + (x^2 - 2bx + b^2 + y^2) = l_1^2 + l_2^2$
$2(x^2 + y^2) + (a^2 + b^2) - 2(ay + bx) = L^2$

Учитывая, что $x^2 + y^2 = r^2$ и $a^2 + b^2 = L^2$, получаем:
$2r^2 + L^2 - 2(ay + bx) = L^2$
$2r^2 = 2(ay + bx)$
$r^2 = ay + bx$

Поскольку точка $C$ лежит на луче, выходящем из $P$ под углом $\alpha$, ее координаты можно выразить через полярный радиус $r$: $x = r \cos\alpha$ и $y = r \sin\alpha$. Подставим их в полученное уравнение:
$r^2 = a(r \sin\alpha) + b(r \cos\alpha)$

Если $r \ne 0$, можно разделить обе части на $r$:
$r = a \sin\alpha + b \cos\alpha$

Положение точек $A$ и $B$ можно параметризовать углом $\phi = \angle PBA$. Тогда из треугольника $PAB$ имеем $a = PA = L \sin\phi$ и $b = PB = L \cos\phi$. Когда точки $A$ и $B$ скользят по положительным полуосям, угол $\phi$ изменяется в диапазоне от $0$ до $90^\circ$.

Подставим выражения для $a$ и $b$ в формулу для $r$:
$r(\phi) = (L \sin\phi) \sin\alpha + (L \cos\phi) \cos\alpha = L(\cos\phi \cos\alpha + \sin\phi \sin\alpha)$
$r(\phi) = L \cos(\phi - \alpha)$

Расстояние $r=PC$ является непрерывной функцией $r(\phi)$ на замкнутом интервале $\phi \in [0, 90^\circ]$. Согласно теореме Вейерштрасса, на этом интервале функция достигает своего максимального и минимального значения.

Таким образом, точка $C$ движется по лучу, выходящему из $P$, причем ее расстояние от $P$ изменяется в конечных пределах. Это означает, что траектория точки $C$ является отрезком.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $C$ перемещается по отрезку прямой, который является частью луча, выходящего из точки $P$ под углом $\angle BAC$ к стороне $PB$.